Yörünge

Çoğu durum için yörünge hareketi, kütleçekimini ters-kare yasasına uyan bir kuvvet olarak açıklayan Newton mekaniği tarafından yeterince tahmin edilebilir. Bununla birlikte, Albert Einstein'ın kütleçekimini uzay zamanın bükülmesi olarak açıkladığı ve yörüngelerin jeodezikleri takip ettiği genel görelilik teorisi, yörünge hareketinin tam mekaniğinin daha doğru bir şekilde hesaplanmasını ve anlaşılmasını sağlar.

Tarihi

Tarihsel olarak, gezegenlerin görünür hareketleri Avrupalı ve Arap filozoflar ve astronomlar tarafından göksel küreler yaklaşımı kullanılarak tanımlanmıştır. Bu model yıldızların ve gezegenlerin bağlı olduğu hareket eden kusursuz kürelerin veya halkaların varlığını öne sürüyordu. Bu bakış açısı göklerin kürenin hareketinden ayrı olarak sabit bir biçimde kaldığını varsayıyor ve herhangi bir kütleçekim anlayışı geliştirmiyordu. Gezegenlerin hareketlerinin daha doğru bir şekilde hesaplanabilmesiyle deferent ve episikl gibi teorik mekanizmalar bu anlayışa eklenmiştir. Gökyüzündeki gezegen konumlarının doğru bir şekilde tahmin edilebilmesine imkan verse de bu model hesaplamaların tutarlılığı açısından çok daha fazla sayıda episikllere ihtiyaç duymaktaydı. Bu nedenle model zamanla geçerliliğini ve kullanışlılığını geniş oranda yitirmeye başladı. Başlangıçta yermerkezli yani jeosentrik olan bu model, modeli basitleştirmeye yardımcı olmak amacıyla Kopernik tarafından Güneş'i merkeze yerleştirecek şekilde değiştirildi. 16. yüzyılda gökküreden geçmekte olan kuyruklu yıldızların gözlemlenmesiyle birlikte modelin tutarlılığı daha da tartışmalı hale geldi.

Modern yörünge anlayışının temelleri gezegen hareketlerini üç adet yasa ile özetleyen Johannes Kepler tarafından oluşturulmuştur. Bunlardan ilkinde, Kepler daha önceki dönemlerde varsayılandan farklı olarak Güneş'in gezegen yörüngelerinin tam merkezinde olmadığını fakat odağında olduğunu, bu nedenle Güneş Sistemi'ndeki gezegen yörüngelerinin dairesel veya episikl değil eliptik olduğunu bulmuştur. İkincisinde, Kepler her gezegenin yörünge hızının önceden düşünüldüğü gibi sabit olmadığını, hızın gezegenin Güneş'e olan uzaklığına bağlı olduğunu keşfetmiştir. Üçüncüsünde ise, Kepler Güneş'in etrafında dönen tüm gezegenlerin yörünge özellikleri arasında evrensel bir ilişkiyi formüle etmiştir. Buna göre, gezegenlerin Güneş'e olan uzaklıklarının karesi yörünge periyotlarının karesi ile orantılıdır. Örneğin, Jüpiter ve Venüs sırasıyla Güneş'ten yaklaşık olarak 5,2 ve 0,723 AU uzaklıkta bulunmaktadırlar. Bu gezegenlerin yörünge periyotları ise yine sırasıyla yaklaşık 11,86 ve 0,615 yıldır. Jüpiter'in 5,2³/11,86² oranı ile Venüs'ün 0,723³/0,615² oranı pratikte birbirine eşit olup, Kepler'in ortaya attığı yasa ile uyumludur. Bu kuralları karşılayan idealleştirilmiş yörüngeler Kepler yörüngeleri olarak bilinir.

Isaac Newton, Kepler'in yasalarının yerçekimi teorisinden türetilebileceğini ve genel olarak yerçekimine maruz kalan cisimlerin yörüngelerinin birer konik kesit olduğunu göstermiştir (burada yerçekimi kuvvetinin anlık olarak yayıldığı varsayılmaktadır). Newton, bir çift cisim için yörüngelerin boyutlarının kütleleriyle ters orantılı olduğunu ve bu cisimlerin ortak kütle merkezlerinin etrafında döndüklerini kanıtlamıştır. Cisimlerden birinin diğerinden çok daha kütleli olduğu durumlarda (bir gezegenin etrafında dönen yapay bir uydu örneğinde olduğu gibi), kütle merkezini daha kütleli olan cismin merkeziyle çakışıyor kabul etmek uygun bir yaklaşımdır.

Newton mekaniğindeki ilerlemeler Kepler yörüngelerinin arkasındaki basit varsayımları, örneğin diğer cisimlerden kaynaklanan pertürbasyonları ya da küresel cisimlerden ziyade küre benzeri cisimlerin etkisini keşfetmek için kullanıldı. Joseph-Louis Lagrange, Newton mekaniğine kuvvetten çok enerjiyi vurgulayan yeni bir yaklaşım geliştirdi ve Lagrange noktalarını keşfederek üç cisim probleminde ilerleme kaydetti. Urbain Le Verrier, 1846'da klasik mekaniğin dramatik bir şekilde doğrulanmasıyla, Uranüs'ün yörüngesindeki açıklanamayan bozulmalara dayanarak Neptün'ün konumunu tahmin edebildi.

Albert Einstein 1916 tarihli Genel Görelilik Teorisinin Temeli adlı makalesinde yerçekiminin uzay-zamanın eğriliğinden kaynaklandığını açıklamış ve Newton'un değişimlerin anlık olarak yayıldığı varsayımını ortadan kaldırmıştır. Bu durum astronomların Newton mekaniğinin yörüngeleri anlamada en yüksek doğruluğu sağlamadığını fark etmelerine yol açmıştır. Görelilik teorisinde yörüngeler jeodezik yörüngeleri takip eder ve bu yörüngeler genellikle Newton tahminlerine oldukça iyi oranda yaklaşır (çok güçlü yerçekimi alanlarının ve çok yüksek hızların olduğu durumlar hariç) ancak aradaki farklar ölçülebilirdir. Esasen, teoriler arasında ayrım yapabilen tüm deneysel kanıtlar, deneysel ölçüm doğruluğu dahilinde görelilik teorisini kabul etmektedir. Genel göreliliğin asıl haklılığı, ilk olarak Le Verrier tarafından kaydedilen Merkür'ün günberi presesyonundaki açıklanamayan miktarı açıklayabilmesidir. Bununla birlikte, Newton'un çözümü, kullanımı önemli ölçüde daha kolay ve yeterince doğru olduğu için çoğu kısa vadeli amaç için hala kullanılmaktadır.

Gezegen yörüngeleri

İçerisinde gezegenler, cüce gezegenler, asteroitler ve diğer küçük gezegenler, kuyruklu yıldızlar ile uzay enkazlarını barındırmakta olan bir gezegen sisteminin elemanları, sistemin merkezinde bulunan bir yıldız etrafında eliptik yörüngeler üzerinde hareket etmektedir. Ancak bu cisimler, sistemin merkezinde yer alan yıldızın tam orta noktası merkezli olarak çizilen elipsler üzerinde değil, iki cisim probleminde de anlatıldığı üzere kütlelerine göre yıldız bünyesinde veya yıldızın dış noktalarından birinde bulunan bir çift merkezi çevresinde dönmektedir. Yörüngesi boyunca herhangi bir noktada, herhangi bir gezegen, çift merkezine göre belirli bir kinetik ve potansiyel enerji değerine sahip olacaktır ve bu iki enerjinin toplamı, yörüngesi boyunca her noktada sabit bir değerdir. Sonuç olarak, bir gezegen enberi konumuna yaklaşırken, potansiyel enerjisi azaldıkça gezegenin hızı artacaktır; tersi durumda enöte konumuna yaklaşıldığında ise potansiyel enerjisi arttıkça hızı azalacaktır.

Karşılıklı kütleçekimsel tedirginlikler dolayısıyla, gezegensel yörüngelerin dışmerkezlikleri zamanla değişmektedir. Güneş Sisteminin en küçük gezegeni olan Merkür en yüksek dışmerkezlikli yörüngeye sahiptir. Halihazırdaki devirde, Mars, Merkür'ün ardından dışmerkezlik büyüklüğünde ikinci sırada yer almakta olup, Venüs ve Neptün sistem içindeki en düşük dışmerkezliğe sahip gezegenlerdir.

Kanunlar

Yörüngelerin anlaşılabilmesi için birkaç temel kural bulunmaktadır:

• Yerçekimi gibi bir kuvvet düz bir çizgide uçmaya çalışan bir nesneyi kavisli bir yola çeker.
• Nesne esas cisme doğru çekildiğinde cismin içine düşer. Ancak yeterli teğetsel hıza sahipse bu cisim cisme çarpmak yerine daimi olarak kavisli bir yol izler. Bu kapsamdaki cisimler için yörüngedeki cisim tabiri kullanılabilir.

Hareket eden iki cismin kütleleriyle birlikte var olan bir hız ilişkisi pratikte dört adet alt türe ayrılabilir. Bunlar:

Yörüngesiz rotalar

Alt yörüngesel rotalar

Bozulmuş eliptik rota aralığı veya tam bir tur yörüngede bulunamama durumu

Yörüngesel gezengeler (veya basitçe yörüngeler)

• En yakın noktası başlangıç noktasının tam karşısında olan eliptik rota aralığı
• Dairesel yol
• En yakın noktası başlangıç noktasında bulunan olan eliptik rota aralığı

Açık veya kaçış rotası

• Parabolik rota
• Hiperbolik rota

Yörünge roketlerinin, roketi atmosferin üzerine çıkarmak için önce dikey olarak fırlatıldığını (bu da sürtünme direncine neden olur) ve daha sonra yavaşça eğildiğini ve yörünge hızına ulaşmak için roket motorunu atmosfere paralel olarak ateşlemeyi bitirdiğini belirtmek gerekir.

Yörüngeye girdikten sonra hızları onları atmosferin üzerinde yörüngede tutar. Örneğin, eliptik bir yörünge yoğun havaya dalarsa, nesne hızını kaybedecek ve yeniden atmosfere girecektir (yani düşecektir). Bazen bir uzay aracı, genellikle aerobraking manevrası olarak adlandırılan bir hareketle atmosferi kasıtlı olarak keser.

Örnekleme

Bir gezegen çevresindeki yörüngenin çiziminde gösterildiği üzere, Newton'un top güllesi modeli bu duruma uygun bir örnek teşkil etmektedir. Bu örnek, top üzerindeki hava sürtünmesi etkisi göz ardı edilmesi veya atmosfer etkisini aşacak oranda yüksek bir dağın varlığı kabul edildiğinde bu dağın tepesindeki bir topun, seçilen herhangi bir namlu çıkış hızında bir gülleyi yatay olarak ateşleyebildiği bir 'düşünce deneyidir'.

Eğer top düşük bir başlangıç hızıyla ateşlenirse, topun aldığı yol aşağıya doğru kıvrılır ve yere çarpar (A). Ateşleme hızı arttıkça, gülle toptan daha uzaktaki bir noktada (B) yere çarpar, çünkü top hala yere doğru düşerken, yer giderek ondan uzaklaşmaktadır. Tüm bu hareketler aslında teknik anlamda "yörüngelerdir" - ağırlık merkezi etrafındaki eliptik bir yolun bir kısmını tanımlarlar - ancak bu iki durumda yörünge Dünya'ya çarparak kesintiye uğrar.

Eğer gülle yeterli bir hızla ateşlenirse, yer de en az güllenin düştüğü mesefe kadar eğilerek gülleden uzaklaşır, yani gülle asla yere çarpmaz. Artık kesintisiz ya da dairesel yörünge olarak adlandırılabilecek bir yörünge oluşmuş olur. Gezegenin ağırlık merkezi ve kütlesinin üzerindeki herhangi bir yükseklik kombinasyonu için, (C)'de gösterildiği gibi dairesel bir yörünge üreten ve Dünyanın kütlesine göre çok küçük olduğu varsayılan topun kütlesinden etkilenmeyen belirli bir ateşleme hızı vardır.

Ateşleme hızı arttırıldıkça kesintisiz eliptik yörüngeler oluşur; bunlardan biri (D)'de gösterilmiştir. İlk ateşleme şekildeki gibi Dünya yüzeyinin üzerindeyse, daha yavaş ateşleme hızında da kesintiye uğramayan eliptik yörüngeler oluşacaktır; bunlar Dünya'ya en çok yarım yörünge ötesinde ve ateşleme noktasının tam karşısında, dairesel yörüngenin altındaki noktada yaklaşacaktır.

Kaçış hızı adı verilen ve gezegenin kütlesine ve cismin sınır merkezinden uzaklığına bağlı olan belirli bir yatay ateşleme hızında, parabolik bir yola sahip açık bir yörünge (E) elde edilir. Daha da yüksek hızlarda nesne bir dizi hiperbolik yörünge izleyecektir. Pratik anlamda, bu yörünge türlerinin her ikisi de nesnenin gezegenin çekiminden "kurtulduğu" ve bir daha geri dönmemek üzere "uzaya gittiği" anlamına gelir.

Newton kütleçekim kanunu ve iki cisim problemi için hareket yasaları

Çoğu durumda rölativistik etkiler ihmal edilebilir ve Newton yasaları hareketin yeterince doğru bir tanımını verir. Bir cismin ivmesi, üzerine etki eden kuvvetlerin toplamının kütlesine bölünmesine eşittir ve bir cisme etki eden yerçekimi kuvveti, çeken iki cismin kütlelerinin çarpımıyla orantılıdır ve aralarındaki mesafenin karesiyle ters orantılı olarak azalır. Bu Newtoncu yaklaşıma göre, iki noktalı kütlelerden ya da küresel cisimlerden oluşan bir sistem için, sadece karşılıklı kütleçekimden etkilenen yörüngeleri tam olarak hesaplanabilir. Eğer ağır cisim küçük cisimden çok daha büyükse, bir gezegenin yörüngesinde dönen bir uydu ya da küçük bir ay ya da Güneş'in yörüngesinde dönen Dünya örneğinde olduğu gibi, hareketi ağır cismi merkez alan bir koordinat sistemi cinsinden tanımlamak yeterince doğru ve uygundur. İki cismin kütlelerinin karşılaştırılabilir olduğu durumda da tam bir Newton çözümü hala yeterlidir ve koordinat sistemini sistemin kütlesinin merkezine yerleştirerek elde edilebilir.

Kütleçekimsel potansiyel enerji tanımı

Enerji yerçekimi alanları ile ilişkilidir. Diğer bir cisimden uzaktaki sabit bir cisim, kendisine doğru çekilirse harici bir etki yapabilir ve bu nedenle yerçekimsel potansiyel enerjiye sahiptir. İki cismi yerçekiminin çekimine karşı ayırmak için güç gerektiğinden, cisimler ayrıldıkça yerçekimi potansiyel enerjileri artar ve birbirlerine yaklaştıkça azalır. Noktasal kütleler için, ayrılma sıfıra yaklaştıkça çekim enerjisi sıfıra düşer. Birbirlerinden sonsuz uzaklıkta olduklarında potansiyel enerjinin sıfır değerine sahip olduğunu ve dolayısıyla daha küçük sonlu mesafeler için negatif bir değere (sıfırdan azaldığı için) sahip olduğunu varsaymak uygun ve gelenekseldir.

Yörüngesel enerjiler ve yörünge şekilleri

Sadece iki yerçekimsel cisim etkileşime girdiğinde, yörüngeleri konik bir kesiti takip eder. Yörünge açık (cismin asla geri dönmeyeceği anlamına gelir) ya da kapalı (geri dönen) olabilir. Hangisi olduğu sistemin toplam enerjisine (kinetik + potansiyel enerji) bağlıdır. Açık bir yörünge durumunda, yörüngenin herhangi bir konumundaki hız en azından o konum için kaçış hızıdır, kapalı bir yörünge durumunda ise hız her zaman kaçış hızından azdır. Kinetik enerji hiçbir zaman negatif olmadığından, sonsuz ayrılıkta potansiyel enerjiyi sıfır olarak kabul eden genel kural benimsenirse, bağlı yörüngeler negatif toplam enerjiye, parabolik yörüngeler sıfır toplam enerjiye ve hiperbolik yörüngeler pozitif toplam enerjiye sahip olacaktır.

Açık bir yörünge, yörüngesinin o noktasında tam olarak kaçış hızına sahipse parabolik bir şekle sahip olacak ve hızı kaçış hızından büyük olduğunda bir hiperbol şekline sahip olacaktır. Kaçış hızı ya da daha büyük olan cisimler birbirlerine yaklaştıklarında, en yakın oldukları anda birbirlerinin etrafında kısa bir süre dönerler ve sonra sonsuza kadar ayrılırlar.

Tüm kapalı yörüngeler bir elips şeklindedir. Dairesel yörünge, elipsin odaklarının çakıştığı özel bir durumdur. Yörüngedeki cismin Dünya'ya en yakın olduğu noktaya yerberi denir ve yörünge Dünya'dan başka bir cisimle ilgili olduğunda enberi (daha nadir olarak " perifokus" ya da " perisentron") olarak adlandırılır. Uydunun Dünya'dan en uzak olduğu noktaya yeröte, enöte ya da bazen apifokus veya aposantron denir. Enberiden enöteye çizilen bir çizgi apsis çizgisidir. Bu, elipsin ana eksenidir ve iki nokta arasındaki en uzun kısmından geçen çizgidir.

Kepler kanunları

Kapalı yörüngeleri izleyen cisimler yollarını periyot adı verilen belirli bir sürede tekrarlarlar. Bu hareket, Newton'un yasalarından matematiksel olarak türetilebilen Kepler'in deneysel yasaları ile tanımlanır. Bunlar aşağıdaki gibi formüle edilebilir:

1. Bir gezegenin Güneş etrafındaki yörüngesi bir elipstir ve Güneş bu elipsin odak noktalarından birinde yer alır. (Bu odak noktası aslında Güneş-gezegen sisteminin çift merkezidir; basitlik açısından bu açıklamada Güneş'in kütlesinin gezegenin kütlesinden sonsuz derecede büyük olduğu varsayılmaktadır). Gezegenin yörüngesi yörünge düzlemi adı verilen bir düzlemde uzanır. Yörünge üzerinde kendisini çeken cisme en yakın nokta enberi olarak adlandırılır. Kendisini çeken cisimden en uzak noktaya ise enöte denir. Belirli cisimlerin yörüngeleri için özel terimler de kullanılmaktadır; Güneş'in etrafında dönen cisimlerin günberi ve günöte, Dünya'nın etrafında dönen cisimlerin yerberi ve yeröte, Ay'ın etrafında dönen cisimlerin ise ayberi ve ayöte (ya da sırasıyla periselene ve aposelene) yörüngeleri vardır. Sadece Güneş'in değil, herhangi bir yıldızın etrafındaki yörüngenin de bir periastronu ve bir apastronu vardır.
2. Gezegen yörüngesinde hareket ederken, Güneş'ten gezegene uzanan çizgi, gezegenin bu süre zarfında yörüngesinin hangi kısmını izlediğine bakılmaksızın, belirli bir süre boyunca yörünge düzleminin sabit bir alanını tarar. Bu, gezegenin günberi yakınında günöte yakınından daha hızlı hareket ettiği anlamına gelir, çünkü daha küçük mesafede aynı alanı kaplamak için daha büyük bir yay izlemesi gerekir. Bu yasa genellikle "eşit zamanda eşit alan" olarak ifade edilir.
3. Belirli bir yörünge için, yörünge yarı-büyük ekseninin küpü ile yörünge periyodunun karesinin oranı eşittir.

Newton kütleçekim yasasının sınırları

Noktasal bir kütlenin ya da Newtoncu çekim alanına sahip küresel bir cismin bağlı yörüngeleri kapalı elipsler olup, aynı yolu tam olarak ve sonsuza kadar tekrarlarken, küresel olmayan ya da Newton'vari olmayan herhangi bir etki (örneğin Dünya'nın hafif basıklığı ya da rölativistik etkiler, dolayısıyla çekim alanının davranışının mesafeyle değişmesi) yörüngenin şeklinin kapalı elipslerin karakteristik Newton iki cisim hareketinden sapmasına neden olacaktır. İki cisim çözümleri Newton tarafından 1687 yılında Principia'da yayınlanmıştır. 1912'de Karl Fritiof Sundman üç cisim problemini çözebilecek yakınsak bir sonsuz seri geliştirmiştir; ancak bu seri çok yavaş yakınsamakta ve pek kullanışlı bulunmamaktadır. Lagrange noktaları gibi özel durumlar dışında, dört ya da daha fazla cisim içeren bir sistemin hareket denklemlerini çözecek bir yöntem henüz bilinmemektedir.

Çoklu cisim problemleri yaklaşımları

Kesin bir kapalı form çözümü yerine, çok sayıda cisim içeren yörüngeler keyfi olarak yüksek doğrulukla tahmin edilebilir. Bu yaklaşımlar iki şekilde olabilir:

Bunlardan biri saf eliptik hareketi temel alır ve birden fazla cismin yerçekimsel etkisini hesaba katmak için pertürbasyon terimleri kullanır. Bu, astronomik cisimlerin konumlarını hesaplamak için uygundur. Uyduların, gezegenlerin ve diğer cisimlerin hareket denklemleri büyük bir doğrulukla bilinir ve göksel navigasyon için tablolar oluşturmak için kullanılır. Yine de, Newton sonrası yöntemlerle ele alınması gereken seküler olgular da bulunmaktadır.

Diferansiyel denklem formu bilimsel veya görev planlama amaçları için kullanılır. Newton yasalarına göre, bir cisme etki eden tüm kuvvetlerin toplamı, o cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir (F = ma). Bu nedenle ivmeler konumlar cinsinden ifade edilebilir. Pertürbasyon terimlerini bu şekilde tanımlamak çok daha basittir. Konum ve hızın başlangıç değerlerinden sonraki konum ve hızları tahmin etmek bir başlangıç değer problemini çözmeye tekabül eder. Sayısal yöntemler nesnelerin konumlarını ve hızlarını kısa bir süre sonra hesaplar, ardından da bu hesaplamayı durmadan tekrarlar. Ancak, bir bilgisayarın matematiğinin sınırlı doğruluğundan kaynaklanan küçük aritmetik hatalar kümülatiftir ve bu da bu yaklaşımın doğruluğunu sınırlar.

Çok sayıda nesne içeren diferansiyel simülasyonlar, kütle merkezleri arasında hiyerarşik çiftler halinde hesaplamalar yapar. Bu şema kullanılarak galaksiler, yıldız kümeleri ve diğer büyük nesne toplulukları simüle edilebilmiştir.

Newtoncu yörüngesel hareket analizi

Aşağıdaki formül bu tür bir eliptik yörünge için geçerlidir. Sadece merkezi cisme doğru olan yerçekimi ivmesinin aralarındaki mesafenin karesinin tersi ile ilişkili olduğunu belirten Newton yerçekimi yasası ile başlanırsa:

${\displaystyle F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

Burada F₂, m₁ kütlesinin m₂ kütlesine uyguladığı çekim kuvvetinin m2 kütlesine uyguladığı kuvvet, G evrensel çekim sabiti ve r iki kütle merkezi arasındaki mesafedir.

Newton'un İkinci Yasası'na göre, m₂'ye etki eden kuvvetlerin toplamı o cismin ivmesiyle ilişkilidir:

${\displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}$

Burada A₂, m₂'ye etki eden m₁'in çekim kuvveti F₂'nin neden olduğu m₂'nin ivmesidir.

where is the acceleration of caused by the force of gravitational attraction F₂ of m₁ acting on m₂.

1. ve 2. denklemlerin birleştirilmesi:

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

İvme için çözüm, A₂: