Zeki Yıldırım, 15 Ocak 1991 tarihinde Antalya’da dünyaya geldi. Futbola ilk adımını Antalya Yolspor’da atarak kariyerine başladı ve genç yeteneğiyle Antalyaspor’un dikkatini çekerek kulübün altyapısına transfer oldu. 2009‑10 sezonunda Mehmet Özdilek yönetimindeki Antalyaspor’da profesyonel sözleşme imzalasa da, Süper Lig’de sahaya çıkma fırsatı bulamadı; 14 Şubat 2010’da Eskişehirspor’la oynanan maçta kadroya dahil edildi.
2010‑11 sezonunda Alanyaspor’a kiralanan Yıldırım, ikinci haftada Çorumspor karşısında sahaya çıktı ve Altan Çetindağ’ın taktiklerinde hızla değişmez bir isim haline geldi. O sezon 34 maçtan 28’inde forma giydi, 24 kez ilk 11’te yer aldı ve toplam 2 042 dakikalık oyun süresiyle 8 sarı kart gördü.
Bir sonraki sezon, 2011‑12’de Pendikspor’a transfer olduktan sonra ligdeki ilk çıkışı 3. hafta Ofspor maçıyla geldi; 90 dakikalık performansı sayesinde Fikret Akdemir’in gözünde vazgeçilmez bir oyuncu olarak yerini sağlamlaştırdı. 20 Kasım 2011’de Çorumspor karşısında attığı gol, sezon boyunca 24 maçta 4 gol kaydetmesi ve 8 sarı kart (biri ikinci sarıdan kırmızı) almasıyla pek çok alt lig takımının da ilgisini çekti; toplam 1 827 dakikada sahada kalan Yıldırım, gollerinin üçünü ayağından, birini ise kafasından buldu.
2012‑13 sezonunda Antalyaspor, Yıldırım’ın eski formunu tekrar kadrosuna ekledi. Temmuz ayında takıma katıldığı kampda 29 Temmuz’da Celje ile oynanan hazırlık maçında resmi olmamakla birlikte bir gol attı. Süper Lig’de ise Uğur İnceman, İbrahim Dağaşan ve Ismaïl Aissati gibi deneyimli futbolcuların gölgesinde ilk haftalarda şans bulamadı, ancak 1 Eylül 2012’de İstanbul B.B. karşısında 59. dakikada sahaya girerek ligdeki ilk çıkışını yaptı.
Dördüncü haftada Galatasaray maçında tam 90 dakika oynadı ve 2013‑14 sezonunun 17. haftasında Trabzonspor’a karşı ilk lig golünü kaydetti. Türkiye Kupası’nda 26 Eylül 2012’de Menemen Belediyespor karşısında 72. dakikada sahaya girerek resmi ilk golünü attı; ardından Eyüpspor’u 7‑0 yenen maçta da gol sevinci yaşadı.
Süper Lig’de toplam 12 kez forma giyen Yıldırım, 534 dakikalık oyun süresiyle 1 sarı kart gördü. Şu anda 1. Lig ekiplerinden Altay’da futbol yaşamına devam ediyor.
