Adem Büyük, 30 Ağustos 1987 tarihinde Artvin'de dünyaya geldi. Futbola genç yaşta yerel takımların altyapılarında başladı; önce Artvin Hopaspor'da, ardından Arhavispor'da formasını terletti. Bu dönemdeki performansıyla dikkatleri üzerine çeken Büyük, sonunda Beşiktaş altyapısına katıldı. 2004-05 sezonunda Beşiktaş A2 takımında yer alırken, 28 karşılaşmada attığı 26 golle profesyonel futbola adım atmadan önce parlamış oldu.
Bu başarı, hem PAF Ligi tarihine geçen bir rekora hem de Beşiktaş'ın bu ligde gol kralı olan ilk futbolcusuna imza atmıştı. Sezonun sonuna doğru Beşiktaş'la iki yıllık profesyonel sözleşme imzalasa da, A takımda forma giyme fırsatı bulamadan yoluna devam etmek zorunda kaldı.
Genç yaşta tecrübe kazanması gerektiğine inanan yönetim, onu ilk olarak 3. Lig'deki Zeytinburnuspor'a kiraladı. Burada geçirdiği ilk yarıda attığı iki golün ardından, bir üst ligdeki Akçaabat Sebatspor'a geçici olarak gönderildi. Bir sene boyunca bu takımda kiralık olarak forma giyen Büyük, 23 maçta yedi gole ulaştı ve aynı zamanda Türkiye Kupası'nda da mücadele etme şansı buldu.
Ne var ki, takımının küme düşmesiyle birlikte yeni bir macera başladı. 2007-08 sezonu için Altay'a kiralanan Büyük, burada 27 maçta 16 gol atarak ligdeki gol krallığı yarışında üçüncü sırada yer aldı. Özellikle 19 Nisan 2008'de İstanbulspor karşısında alınan 5-0'lık galibiyette kaydettiği dört gol, kariyerindeki önemli anlardan biri oldu.
Beşiktaş'tan Altay'a geçen bu başarılı dönem, Büyük'ün millî takımlara kadar yükselmesini sağladı. Ancak takımın Uğur İnceman transferinde yer alan opsiyonla birlikte Manisaspor'a transfer olmasıyla yeni bir dönem başladı. Burada lig şampiyonluğuna katkıda bulunurken, Süper Lig'e yükselmenin ardından takımda kendine yer bulamadı ve Boluspor'a kiralandı.
Burada geçirdiği 2009-10 sezonu boyunca 11 gol kaydetti ve takımının Türkiye Kupası'nda elenmesine rağmen kendi adına etkili bir performans sergiledi. Bir sonraki sezon Manisaspor'a geri döndüğünde yine forma şansı bulamasa da, Mersin İdman Yurdu'na kiralık olarak gönderildi ve burada attığı 10 golle takımının 29 yıl aradan sonra Süper Lig'e yükselmesine büyük katkı sağladı.
Mersin'deki bu parlak dönemin ardından Manisaspor'a geri döndüğünde yine kadroda yer bulamayan Büyük, nihayet 2 Ekim 2010'da Samsunspor karşısında Süper Lig'de ilk kez forma giydi. Ancak bu fırsat bir istisna olarak kaldı ve devre arasında kadar fazla süre alamadı. 2011-12 sezonunun ara transfer döneminde Kasımpaşa'ya transfer olan Büyük, burada 11 Ocak 2012 tarihinde Türkiye Kupası'nda MKE Ankaragücü'ne karşı kaydettiği üç golle takımının tur atlamasında kilit rol oynadı.
Sezon sonunda Kasımpaşa'nın ligi dördüncü sırada tamamlamasına da katkıda bulunan Büyük, böylece futbol kariyerindeki inişli çıkışlı yolculuğunu sürdürdü.
