Bilinen teoremi neden yeniden ispatlarlar? Pisagor'dan Gauss'a ikinci ispatın değeri
Pisagor teoreminin 300'ü aşkın ispatı var, Gauss aynı yasayı sekiz kez kanıtladı. Doğruluğu çoktan bilinen bir sonuca yeni ispat yazmak matematiğe ne kazandırır?
1818'de Carl Friedrich Gauss, kendi adıyla anılan bir yasanın altıncı ispatını yayımladı. Aynı sonucu ilk kez 1801'de, sayılar kuramının temel kitaplarından sayılan Disquisitiones Arithmeticae'de kanıtlamıştı. Yani ortada çözülmeyi bekleyen bir soru yoktu; yasanın doğru olduğunu herkes, en başta da Gauss biliyordu. Buna rağmen yazının girişinde yıllardır yeni bir yöntem aradığını, sonunda aradığını bulduğunu anlatıyordu.
New Scientist'in son günlerde sorduğu soru tam da bu: Matematikçiler zaten bildikleri şeyleri neden tekrar tekrar ispatlıyor? İlk bakışta tuhaf bir alışkanlık gibi görünür. Fizikte bir deney yüzlerce kez yinelenebilir, çünkü her ölçüm bir hata payı taşır. Matematikte ise geçerli bir ispat bir kez yazıldığında sonuç kesinleşir; ikincisi doğruluğa hiçbir şey eklemez.
Bu soruya verilen cevap, ispatın ne olduğuna dair yerleşik bir düşünceyi sarsıyor: İspat yalnızca "doğrudur" mührü değil, bir anlama biçimi. Aynı tepeye çıkan her yeni patika, dağın başka bir yamacını gösteriyor.
Mühür değil, yol haritası
Matematik felsefecisi Yehuda Rav, 1999'da Philosophia Mathematica dergisinde yayımlanan "Neden teorem ispatlarız?" başlıklı makalesinde bu fikri açıkça savundu. Rav'a göre matematiksel bilginin asıl taşıyıcısı teoremler değil ispatlardır. Teorem bir sonucu tek cümlede özetler; ispat ise o sonuca götüren yöntemleri, kurguları, kavram ayrımlarını ve başka problemlerle bağlantıları içinde barındırır.
Bu bakışla bakınca aynı teoremin farklı ispatları birbirinin kopyası değildir. Biri sonucu cebirle, öteki geometriyle, bir başkası olasılık ya da topolojiyle elde ettiğinde, ortaya üç ayrı bilgi çıkar: Teoremin hangi varsayımlara gerçekten ihtiyaç duyduğu, hangi alanlarla akraba olduğu ve hangi araçların sanıldığından güçlü olduğu.
Pisagor: bir teoreme yüzlerce kapı
Dik üçgende hipotenüs üzerindeki karenin alanının öteki iki kenar üzerindeki karelerin toplamına eşit olduğunu söyleyen Pisagor teoremi, bilinen en çok ispatı olan teorem olarak anılır. Günümüze ulaşan en eski aksiyomatik ispat, MÖ 300 dolaylarında yazılan Öklid'in Elemanlar'ının birinci kitabındaki 47. önermedir. Amerikalı matematik öğretmeni Elisha Scott Loomis, The Pythagorean Proposition adlı kitabında 300'ü aşkın ispatı topladı ve sınıflandırdı; kitap bugün hâlâ başvuru kaynağı olarak kullanılıyor.
Bu kadar ispattan sonra söylenecek söz kalmadığı düşünülebilir. Öyle değil. New Orleans'ta iki lise öğrencisi, Calcea Johnson ve Ne'Kiya Jackson, okullarındaki bir matematik yarışması için teoremi trigonometriyle ispatlamaya giriştiler. Buradaki zorluk şu: Trigonometrinin en temel özdeşliği, yani sinüs karesi artı kosinüs karesinin bire eşit olması, zaten Pisagor teoreminden türer. Teoremi bu özdeşliğe dayanarak kanıtlamak, ispatlanacak şeyi baştan varsaymak, yani döngüye düşmek olur. İkili bu tuzaktan, sinüs teoremi gibi Pisagor'u önceden kabul etmeyen bir kuralı kullanarak kaçındı.
Johnson ve Jackson çalışmalarını Mart 2023'te Amerikan Matematik Derneği'nin bölgesel toplantısında sundu. Louisiana Eyalet Üniversitesi'nin duyurusuna göre makaleleri "Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem" (Pisagor teoreminin beş ya da on yeni ispatı) başlığıyla The American Mathematical Monthly dergisinin Kasım 2024 sayısında çıktı. Makalede toplam on ispat var; bunlardan dokuzu tamamen yeni. İki bin yılı aşkın bir geçmişi olan teorem, bu kez trigonometrinin kendi ayakları üzerinde durabildiğini gösterdi.
Asallar bitmez: Öklid'den topolojiye
Asal sayıların sonsuz olduğu da Öklid'in kitabında, dokuzuncu kitabın 20. önermesinde yer alır. Yaygın anlatımın aksine Öklid'in ispatı aslında olmayana ergi (çelişki yoluyla ispat) değildir: Herhangi bir sonlu asal listesinden, listede olmayan yeni bir asal üretmenin yolunu gösterir.
Sonraki yüzyıllarda bu basit gerçeğe pek çok yeni yol açıldı ve her biri başka bir şey öğretti:
- Leonhard Euler, 18. yüzyılda asalların terslerinin toplamının sonsuza gittiğini gösterdi. Bu, asalların yalnızca sonsuz değil, belli bir anlamda "bol" olduğunu söyleyen, Öklid'inkinden daha güçlü bir sonuçtu ve analizi sayılar kuramına taşıdı.
- Hillel Furstenberg, 1955'te henüz Yeshiva Üniversitesi'nde lisans öğrencisiyken The American Mathematical Monthly'de tam sayılar üzerinde özel bir topoloji kurarak asalların sonsuzluğunu kanıtladı. İspat, topolojiden çok aritmetik dizilerin özellikleri hakkında bir şey söylüyordu.
- Filip Saidak 2006'da hiç çelişkiye başvurmadan, giderek daha çok asal çarpan taşıyan sayılar inşa eden bir ispat verdi.
Quanta Magazine'in 2023'te aktardığına göre Romeo Meštrović'in 2018'de yaptığı kapsamlı derleme, bu teoremin 200'e yakın ispatını sıralıyor. Aynı yazıda Maryland Üniversitesi'nden William Gasarch, Fermat'nın son teoremini ve Schur teoremini kullanan kendi yeni ispatı üzerine şöyle diyor: "Bütün bu makaleler, asalların sonsuz olduğuna dair şirin bir yeni ispattan ciddi matematiğe geçiyor." Yani amaç asallar hakkında yeni bir şey öğrenmek değil; büyük bir teoremin, çok daha temel bir gerçeği ne kadar kolay doğurduğunu görerek iki alan arasındaki gizli bağı ölçmek.
Gauss'un "altın teoremi" ve sekiz ispat
Yazının başındaki yasa, ikinci dereceden karşılıklılık yasasıdır. Kabaca iki tek asal sayıdan birinin, ötekine göre bir tam karenin kalanı olup olmadığı ile tersi arasında şaşırtıcı bir simetri kurar. Yasayı Euler ve Adrien-Marie Legendre sezmiş ama tam olarak kanıtlayamamıştı; ilk eksiksiz ispat Gauss'undur. Gauss yasayı yayımladığı eserlerde "temel teorem" diye anarken kendi notlarında ona "altın teorem" diyordu.
Gauss sağlığında altı ispat yayımladı, ölümünden sonra notlarında iki ispat daha bulundu. Neden bu kadar? Cevabı kısmen kendisi verdi. Matematikçi Steve Wright'ın derlemesinde aktarıldığı gibi, 1818'deki altıncı ispatın girişinde Gauss yıllardır kübik ve dördüncü dereceden karşılıklılık yasalarına da genişletilebilecek bir yöntem aradığını yazıyordu. Yani hedef ikinci dereceden yasayı yeniden doğrulamak değil, daha yüksek kuvvetlere açılan kapıyı bulmaktı. Bu arayışta kullandığı ve bugün "Gauss toplamları" denen araç, sonraki kuşakların üst dereceden karşılıklılık yasaları üzerindeki çalışmalarında merkezî bir yer tuttu.
Karşılıklılık yasası bugün de ispat toplamaya devam ediyor; yayımlanmış ispat sayısı 240'ı aştı.
"Derin" sanılan bir teoremin basit ispatı
Bazen yeni ispat, matematikçilerin kendi alanları hakkındaki bir önyargısını da yıkar. Asalların sayılar arasında nasıl seyreldiğini anlatan asal sayı teoremi 1896'da Jacques Hadamard ve Charles-Jean de la Vallée Poussin tarafından birbirinden bağımsız olarak kanıtlandı. İki ispat da karmaşık analize, yani karmaşık sayılar üzerinde fonksiyon kuramına dayanıyordu.
20. yüzyılın ilk yarısında İngiliz matematikçi G. H. Hardy başta olmak üzere bazı matematikçiler, ispat yöntemleri arasında bir hiyerarşi olduğuna ve bu teoremin karmaşık analiz gerektirdiği için "derin" olduğuna inanıyordu. 1948-1949'da Atle Selberg ve Paul Erdős, yalnızca "temel" yöntemlerle, karmaşık analize hiç başvurmadan ispatlar verdi. Bu ispatlar teorem hakkında yeni bir olgu eklemedi ama temel yöntemlerin sanıldığından çok daha güçlü olduğunu gösterdi. Bir teoremin "neden doğru olduğu" sorusu, "doğru olup olmadığı" sorusundan ayrı ve en az onun kadar ilginç bir soruydu.
Erdős'ün Kitabı: en güzel ispatın peşinde
Yeni ispat aramanın bir de estetik yanı var. Erdős, Tanrı'nın her teoremin kusursuz ispatını yazdığı bir kitap tuttuğunu hayal ederdi ve gerçekten zarif bir ispat görünce "doğrudan Kitap'tan" derdi. Kendi sözleriyle: "Tanrı'ya inanmak zorunda değilsiniz ama Kitap'a inanmalısınız." Bu fikir 1998'de Martin Aigner ve Günter M. Ziegler'in Proofs from THE BOOK (Kitap'tan İspatlar) adlı eserine dönüştü. 1996'da ölen Erdős kitaba ortak yazar olamadı; kitap onun anısına adandı. İlk bölümü asalların sonsuzluğunun altı farklı ispatına ayrılmıştır. Eser 2018'de Amerikan Matematik Derneği'nin açıklayıcı matematik yazımı için verdiği Leroy P. Steele Ödülü'nü aldı.
Hardy de 1940'ta yayımlanan Bir Matematikçinin Savunması'nda aynı duyguyu daha sert dile getirmişti: "Güzellik ilk sınavdır: Dünyada çirkin matematiğe kalıcı bir yer yoktur." Çirkin ama doğru bir ispat, matematikçi için çoğu zaman yeni bir arayışın başlangıcıdır.
Bir ispat daha neye yarar?
Penn State York'tan emekli matematikçi John W. Dawson Jr., 2015'te yayımlanan Why Prove it Again? (Neden yeniden ispatla?) adlı kitabında bu soruyu Pisagor teoreminden asalların sonsuzluğuna, cebirin temel teoreminden asal sayı teoremine kadar bir dizi örnek üzerinden karşılaştırmalı olarak inceliyor; kitap ayrıca iki ispatın ne zaman gerçekten "farklı" sayılacağını da tartışıyor. Yukarıdaki örnekler bir araya getirildiğinde ikinci ispatın kazandırdıkları kabaca şöyle sıralanabilir:
- Genelleme: Gauss'un aradığı gibi, eski sonucu daha geniş bir aileye taşıyacak yöntem.
- Bağlantı: Furstenberg'in topolojisi ya da Gasarch'ın Fermat'lı ispatı gibi, uzak görünen iki alanın akraba olduğunu gösteren köprü.
- Araçların sınanması: Selberg ve Erdős örneğinde olduğu gibi, hangi yöntemin neye gücünün yettiğini ölçmek.
- Bağımsızlık: Johnson ile Jackson'ın trigonometrik ispatları gibi, bir kuramın başka bir sonuca yaslanmadan ayakta durabildiğini göstermek.
- Anlaşılırlık ve güzellik: Öğretilebilen, akılda kalan, "Kitap'tan" bir ispat.
Açık soru: Makine ispatlarken insan neyi arayacak?
Bu tartışma bugün yeni bir anlam kazanıyor. Bilgisayarlar ve yapay zekâ sistemleri artık ispat üretebiliyor, ispatları makineyle denetlenebilir biçime çevirebiliyor. Bir sonucun doğru olduğunu göstermek ucuzladıkça, Rav'ın sorusu daha da keskinleşiyor: Eğer ispatın değeri yalnızca doğruluk mührüyse makine yeterli. Ama matematikçilerin iki bin yıldır aynı teoremlere dönmesi, aradıkları şeyin başka olduğunu düşündürüyor. Doğru olduğu bilinen bir sonucun "neden" doğru olduğunu en sade biçimde gösteren ispatı kim yazacak ve onu tanıyacak olan kim olacak, matematiğin önümüzdeki yıllardaki asıl sorularından biri.
Fotoğraf: Euclid, Public domain, Wikimedia Commons
