Rastgele dizdiler ve ispat çıktı: Graham'ın 55 yıllık sorusu kapandı

Quanta Magazine'den Shalma Wegsman'ın 28 Eylül 2026 tarihli haberine göre ispat dört ayrı makaleye ve dört yıla yayıldı; makaleleri yazan altı matematikçinin çoğu doktorasını yeni bitirmiş ya da hâlâ genç araştırmacı kadrosundaydı.

Toplar aynı vuruşta düşmesin

Graham'ın sorusu şu: Sıfırdan farklı, birbirinden farklı sayılardan oluşan bir küme alın. Bu sayıları öyle bir sıraya dizebilir misiniz ki ilk ikisinin toplamı, ilk üçünün toplamı, ilk dördünün toplamı — yani bütün "kısmi toplamlar" — birbirinden farklı çıksın?

Jonglörlük diline çevirisi Quanta'nın haberinde şöyle veriliyor: her top havada farklı bir süre kalıyorsa, topları öyle bir sırayla atabilir misiniz ki iki top aynı vuruşta birden elinize dönmesin. Dönerse gösteri biter.

Sayıların hepsi pozitifse yanıt hemen belli: toplam her adımda büyür, iki kısmi toplam asla eşitlenemez. İşin içine eksili sayılar da girdiğinde yanıtın yine "evet" olduğu biliniyordu. Graham'ın merak ettiği, sayıların sonlu bir dünyada yaşadığı durumdu.

O dünya saat aritmetiği. Sayı doğrusunu bir saat kadranına sarıyorsunuz; kadranda p tane hane var ve p asal. p=7 ise 0, 7, 14 aynı yerdir; yani iki pozitif sayıyı toplayıp sıfır elde edebilirsiniz. Tam da bu yüzden iş zorlaşır: bir yerlerde toplamı sıfıra düşen bir sayı öbeği kalırsa, o öbeğin öncesindeki ve sonrasındaki kısmi toplamlar birbirinin aynısı olur.

Somut bir örnek: p=7 saatinde {1, 2, 5, 6} kümesini alalım. Sırayla dizersek kısmi toplamlar 1, 3, 1, 0 çıkar — 2 ile 5'in toplamı sıfıra düştüğü için 1 iki kez tekrarlar. Ama sırayı 1, 2, 6, 5 yaparsanız toplamlar 1, 3, 2, 0 olur; hepsi farklıdır. Graham'ın varsayımı, böyle kurtarıcı bir sıranın her zaman bulunabileceğiydi.

Princeton Üniversitesi'nden matematikçi Noga Alon'a göre sorunun cazibesi buradan geliyor: kurallar ne kadar sıkı olursa olsun, elinizde genellikle aradığınız düzeni kurmaya yetecek kadar esneklik kalır — sudoku tahtası ya da Latin karesi doldurmaya benzer. Alon'un Quanta'ya söylediğiyle, soru "tasarımlar ve çok simetrik yapılarla ilgili bütün o sorulara güzelce oturuyor".

Graham'ın jonglörlük ile matematik arasındaki bağı yıllar sonra makalelere döktüğünü biliyoruz. 1980 tarihli bir televizyon söyleşisinde bağı şöyle kuruyordu: "Aslına bakarsanız ilginç, pek çok matematikçinin ve bilgisayar bilimcinin jonglörlüğe ilgisi var. Bence bunun sebebi örüntü ve yapı arayışı." Söyleşinin kaydı, jonglörlük tarihçisi David Cain'in YouTube kanalında yayımlanıyor.

Graham 2020'de yaşamını yitirdi; varsayımının çözüldüğünü göremedi.

Rastgele dizmek neden ispat sayılır?

Bu hikâyedeki asıl teknik kahraman olasılıksal yöntem. Adı ürkütücü ama fikri tek cümleyle anlatılabilir: aradığınız nesneyi bulmaya çalışmak yerine, nesneyi rastgele üretirseniz istediğiniz özelliği taşıma olasılığının sıfırdan büyük olduğunu gösterirsiniz. Olasılık sıfırdan büyükse, o nesne var demektir — çünkü hiç yoksa olasılık tam sıfır olurdu.

Yöntem yapıcı değildir: size nesnenin var olduğunu söyler, nasıl göründüğünü söylemez. Kombinatorikte bu geleneği büyük ölçüde Paul Erdős kurdu; 1947'de Ramsey sayıları üzerine yazdığı kısa ispat, yöntemin ders kitaplarına giren ilk ünlü uygulamalarından biridir. Graham'ın varsayımının da Erdős ile Graham tarafından sonradan tekrar dile getirildiği, Bedert–Kravitz makalesinin özetinde yazıyor.

Oxford Üniversitesi'nden Alp Müyesser, bu tür soruların cazibesini Quanta'ya anlatırken bilgisayar bilimindeki adını kullanıyor: "Bilgisayar bilimciler buna çoğu zaman 'samanlıkta saman bulmak' problemi der." Yani aradığınız şeyden ortalıkta bol miktarda var; sorun, elinizle bir tanesini gösterememeniz. "Rastgele yaparsanız büyük ihtimalle işe yarar," diyor Müyesser, "ama çözümün tam olarak nasıl görünmesi gerektiğini açıkça tarif etmek zordur."

Dört makale, dört ayrı aralık

Sorunun zorluğu, seçtiğiniz kümenin p'ye kıyasla ne kadar büyük olduğuna göre değişiyor. Çok sayı seçerseniz yönetilecek toplam sayısı artar; az seçerseniz elinizde deneyecek sıralama kalmaz. Bu yüzden her aralık başka bir tekniğe teslim oldu. Aşağıdaki tablo, dört makalenin arXiv kayıtlarındaki başlık, yazar ve tarih bilgileriyle Quanta'nın anlatımını birleştiriyor.

İlk makalenin başlığında Graham'ın adı bile geçmiyor. Müyesser ile doktora danışmanı Pokrovskiy, 2022'de daha genel bir problem üzerine yazdıkları çalışmanın içine Graham'ın büyük kümeler durumunu da gömmüşlerdi. Yöntemleri şuydu: kümeden özenle birkaç sayıyı yedeğe ayır, kalanı rastgele karıştır, sonra diziyi tarayıp toplamı sıfıra düşen bir aralık gördüğün yere yedek sayılardan birini sokuştur.

Birkaç yıl sonra Oxford'dan Noah Kravitz, bu çözümden habersiz, çözülmemiş problemlerin tutulduğu bir çevrimiçi arşivde varsayıma rastladı. Tepkisini Quanta'ya şöyle aktarıyor: "Açık bir problem olduğunu gördüm ve 'bunu bilmiyor olmamız insanlık adına utanç verici' diye düşündüm. Bu durumun düzeltilmesi şarttı." Kravitz, Benjamin Bedert ile birlikte sorunu ters uçtan tuttu: kümenin p'nin yanında minicik kaldığı durum — Alon'un verdiği örnekle, p bir milyarken yüz sayılık bir küme.

İki grup 2024'te birbirini buldu ve beş kişiye çıkıp Ağustos 2025'te bandı genişletti. Kravitz bu birleşmeyi "epey ihtimal dışı bir insan bileşimi" diye tanımlıyor; kendisiyle Müyesser kombinatoriğin normalde birlikte çalışmayan iki dalından geliyor. Yine de ortada bir boşluk kaldı: kümenin p'nin kabaca yarısı kadar sayı içerdiği orta boy durumlar. "Yöntemlerimiz orada işe yaramıyordu ve yaramayacak olmasının açık sebepleri vardı," diyor Müyesser.

Üç "kötü olay" ve Fourier

Orta bandı Lisa Sauermann ile Huy Tuan Pham kapattı. İkili 2015'te Stanford'da tanışmıştı; Sauermann doktora öğrencisi, Pham lisans öğrencisiydi. Eylül 2025'te Almanya'daki bir konferansta Graham varsayımı üzerine, boşluğu kapatmayı deneyip başaramamış matematikçilerin iki sunumunu dinlediler. Pham konferans sonrası Sauermann'ı Bonn'a kadar izledi; üç günün sonunda ellerinde bir plan vardı.

Sauermann'ın bu soruya yabancı olmamasının ayrı bir sebebi de varmış: lise yıllarında Uluslararası Matematik Olimpiyatı'nda çok yakın bir problemle karşılaşmış ve doğru çözmüştü. Lise bitene kadar aynı yarışmadan dört altın madalya aldı. Quanta'nın aktardığına göre o soruyu sınava koyan kişi büyük ihtimalle Fan Chung'du; Chung soru komitesindeydi ve sık sık Graham'ın bulmacalarından esinlenirdi.

Sauermann ile Pham da işe kendilerinden öncekilerin yaptığı gibi başladı: kümeyi rastgele dizdiler, sonra toplamı sıfıra düşen her diziyi onaracak bir işlem tanımladılar — böyle bir dizi görünce dizinin son sayısını başka bir sayıyla değiştiriyorlardı. İşlem çoğu zaman pürüzsüz yürüyor, ama üç durumda tıkanıyordu: sıfır toplamlı dizi en sona denk gelirse yerine koyacak sayı kalmıyor; sıfır toplamlı diziler birbirine çok yakın kümelenirse hepsi birden onarılamıyor; ve bir onarım, ileride yeni bir sıfır toplamlı dizi doğurabiliyor.

İspatın kalbi, bu üç "kötü olayın" her birinin olasılığını yeterince düşük göstermekti. Teknik adı anti-konsantrasyon: bir olayın olma şansının özellikle düşük olduğunu söyleyen ifadelere verilen ad. Kravitz'e göre bu yolun işe yarayabileceğini başkaları da sezmişti, ama ispatların mekaniği o kadar çetrefilliydi ki "onu gerçekten denemeye cesaretimiz yoktu".

İkili burada Fourier çözümlemesine başvurdu — fonksiyonları basit dalgaların toplamı olarak yeniden yazmaya yarayan alana. Amaç şuydu: rastgele sayı kümelerini topladığınızda hiçbir toplamın diğerlerinden belirgin biçimde daha olası olmadığını göstermek. Toplamlar kadrana böyle düzgün yayılınca, üç kötü olayın olasılıkları tek tek kestirilebildi. Toplam olasılık yüzde 100'ün altında kaldı; varsayım için bu yeterliydi.

Dahası, rastgele bir dizilişin en az yüzde 90 oranında onarılabildiğini gösterdiler. Yani aradığınız düzen sonlu dünyada nadir bir istisna değil, kural.

Kanıtın sınırı nerede

Dört makale birlikte varsayımı her boyuttaki küme için ispatlıyor — ama hepsi p'nin çok büyük olduğunu varsayıyor. Quanta'nın aktardığına göre kimse bu eşiğin tam değerini hesaplamış değil; büyüklük mertebesi olarak 10 üzeri 100 gibi bir sayı düşünmek gerekiyor. Matematikçiler açısından bu bir kusur sayılmıyor, çünkü önemli olan saat aritmetiği içinde çalışıyor olmak. Yine de teknik olarak açık bir kapı kalıyor: varsayımı bütün p'ler için kanıtlamak.

Bir de şu var: sonucu gerçek bir jonglörlük gösterisine çevirmeye kalkarsanız elinize hiçbir şey geçmez. Böyle büyük bir p'ye karşılık gelen rutin, bir ömre sığmayacak kadar uzun olurdu.

Alon'a göre ispatın asıl söylediği şu: bu tuhaf, sıkıştırılmış sayı dünyalarının içinde bile "her zaman var olan bazı güzel yapılar var". Sonlu bir kadranda bile elinizde, aynı toplama iki kez uğramamaya yetecek kadar esneklik kalıyor.

Fan Chung'un Quanta'ya söylediği cümle, hikâyeyi başladığı yere bağlıyor: "İyi bir problem ortaya atmak gerçekten bir sanattır. Bence Ron problemin çözüldüğünü görse çok mutlu olurdu." Geriye, Graham'ın soru sorma sanatına dair asıl merak uyandıran ayrıntı kalıyor: soruyu jonglörlükten esinlenerek sorduğunu hiçbir zaman yazmadı. Bu bağı kuranlar, 55 yıl sonra soruyu kapatan matematikçiler oldu.

Fotoğraf: Peter Vidor, CC BY 3.0, Wikimedia Commons