Yapay zekânın bulduğu simetrik Venn diyagramı: 19 eğri, 524.288 bölge

Matematik tarafındaki anlamı şu: Branko Grünbaum'un 1975'te sorduğu ve son otuz yılda 13 eğride takılıp kalan bir soru, en azından iki yeni değer için kapandı. Üstelik önceki aramaların yapısı gereği hiç bakmadığı bir köşede kapandı.

Önce tanım: "basit" ve "simetrik" ne demek

Bir n-Venn diyagramı, düzlemde n tane kapalı eğridir (teknik adıyla Jordan eğrisi) ve tek koşulu şu: eğrilerin hangi alt kümesini alırsanız alın, "tam olarak bunların içinde, diğerlerinin dışında" olan noktalar kümesi boş olmayacak ve tek parça olacak. n eğri için bu, 2'nin n'inci kuvveti kadar bölge demektir; 19 eğri için 524.288.

Diyagram basit (simple) ise hiçbir noktada üç eğri birden buluşmaz; her kesişme tam iki eğriye aittir. Simetrik ise, çizimi merkez etrafında 2π/n kadar — yani tam turun n'de biri kadar — döndürdüğünüzde kendisine oturur. Pratikte bu, diyagramın tek bir dilimin tekrarı olması demek. 17 eğrili örnekte dilim başına 7.710 kesişme düşüyor: bütün çizim, merkezin çevresinde on yedi kez bükülmüş tek bir satır.

Venn diyagramının kendisi her n için var; zor olan simetri. Örneğin altı küme için bilinen bir çizim yalnızca üçgenlerden kuruludur ama döndürme simetrisi yoktur.

Neden yalnız asal sayılarda simetri olabiliyor

Buradaki kısıt şaşırtıcı biçimde basit bir sayma argümanından geliyor. Simetrik bir diyagramda, "tam k eğrinin içinde" olan bölgeler döndürmeyle birbirine taşınır; dolayısıyla n'erli gruplar hâlinde gelirler. Yani n sayısının, k eğri seçmenin kaç yolu olduğunu veren binom katsayısını tam bölmesi gerekir. n = 4 için bu hemen çöker: dört eğriden ikisini seçmenin 6 yolu var, 4 ise 6'yı bölmez. Bölünebilirlik yalnız n asal olduğunda her k için sağlanır.

Bu gözlemi 1963'te Henderson yaptı; argümanında bir boşluk vardı ve teoremin ilk tam ispatı Stan Wagon ile Peter Webb'e ait. Sonuç olarak simetrik Venn diyagramı aranacak yerler 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 … diye gidiyor.

Elli yıllık merdiven

Grünbaum 1975'te "her asal n için var mı?" diye sordu ve beş eğrili basit simetrik örnekleri verdi. Sonrası yavaş ilerledi. Aşağıdaki tablo, Dzoba'nın makalesindeki tarihçeden derlendi.

Eğri sayısı	Kim, ne zaman	Durum
5	Grünbaum, 1975	basit ve simetrik
7	Grünbaum ve Edwards, 1990'lar	basit ve simetrik
11	Hamburger, 2002	simetrik ama basit değil
her asal n	Griggs, Killian, Savage, 2004	simetrik ama çok katlı kesişmeler var
11 ve 13	Mamakani ve Ruskey, 2012 ve 2014	basit ve simetrik
17 ve 19	Dzoba, 2026	basit ve simetrik

2004'teki Griggs–Killian–Savage sonucu her asal sayı için simetrik bir diyagram üretiyordu, ama o diyagramlarda bir noktadan çok sayıda eğri geçiyor. "Basit" koşulunu da ekleyince sınır 13'te duruyordu. Ruskey, Savage ve Wagon bu boşluğu alanın merkezî açık problemi olarak işaret etmiş, 2026'daki güncel literatür hâlâ basit simetrik diyagramları yalnız 13'e kadar bilinen olarak listeliyordu.

Eski yöntemin kör noktası

Mamakani ve Ruskey'in 11 ve 13 eğriyi bulduğu yöntem, diyagramı "kesişme dizisi" denen bir gösterimle tarıyordu. Bu gösterim yapısı gereği yalnız monoton diyagramları sayıyor. Monotonluk, Bultena, Grünbaum ve Ruskey'in gösterdiği gibi, diyagramın dışbükey eğrilerle çizilebilmesine karşılık gelir — yani halkalar, elipsler, düzgün şekiller.

Yeni bulunan 17 ve 19 eğrili diyagramların hepsi monoton değil. İlk 19 eğrili belgede 27.594 bölge yörüngesinin 3.590'ında (yüzde 13) monotonluk bozuluyor. Bunun iki sonucu var: bu diyagramların hiçbiri dışbükey eğrilerle çizilemez, ve eski aramaların arama uzayında zaten hiç bulunmuyorlardı. Mamakani'nin kendisi de makalenin teşekkür bölümünde, eski aramaların monoton olmayan diyagramları tasarım gereği dışarıda bıraktığını hatırlatan kişi olarak anılıyor. Ayrıca Mamakani ve Ruskey, kendi arama dizilerinin boyutunun 13'ten 17'ye geçerken yaklaşık on kat büyüdüğünü zaten not etmişti.

Yöntem: küre üzerinde bir rastgele yürüyüş

Yeni arama diyagramı doğrudan çizmiyor; onun ikilisini (dual) kurcalıyor. Her bölge bir köşe oluyor, her kesişme dört köşeli bir yüz oluyor ve bütün nesne küre üzerine oturtulmuş bir dörtgenlemeye dönüşüyor. Köşelerin etiketleri, o bölgenin hangi eğrilerin içinde olduğunu söyleyen bit dizileri.

Arama bir Metropolis yürüyüşü: her adımda yerel bir yeniden kablolama öneriliyor (mercek ekleme/çıkarma, üçgen çevirme, ikigen işlemleri) ve öneri aynı anda n döndürme kopyasına birlikte uygulanıyor, böylece simetri hiç bozulmuyor. Her durumun bir "enerjisi" var: eksik etiket sayısı artı bir katsayıyla çarpılmış tekrarlanan bölge sayısı. Enerji sıfıra indiğinde elinizde geçerli bir diyagram oluyor.

İşi açan hile, geçici tekrarlara izin vermek. Tekrar yasakken aynı dörtgenlemelerin açgözlü büyümesi etiketlerin bir kısmında tıkanıp kalıyor, çünkü son mercek eklemeleri iki eksik etiketin geometrik olarak çakışmasını gerektiriyor. Tekrarlara izin verince eksik bir etiket, bir tekrarın yanında bedelsiz doğabiliyor ve kusurlar birbirini yok edene kadar yayılabiliyor.

Yürüyüş sıfırdan değil, 2004'teki Griggs–Killian–Savage diyagramının çok katlı kesişmeleri tek tek basit kesişmelere ayrıştırılmış hâlinden başlıyor. 17 eğri için bu başlangıç durumunda bütün etiketler mevcut ama 69.394 tekrarlanan bölge var; 19 eğri için 305.862.

19'daki düğüm

17 eğri hızlı geldi: on beş bağımsız koşudan üçü üç saat içinde enerjiyi sıfıra indirdi, dördüncü diyagram 68 tekrarın kaldığı bir durumdan 40 dakikalık ek bir çevrimle çıktı. Aynı yöntem 11 ve 13 eğriyi oyuncak gibi buluyor: 200 tohumun 200'ü basit simetrik 11-Venn diyagramı üretti, ortanca süre 0,8 saniye.

19 eğri inat etti. Düşük enerjiye inen her soy aynı yerde kilitlendi: {0, 3, 4} etiketi iki kopya hâlinde kalıyor ve iki kopyanın dereceleri 6 ile 9 arasında. Oysa ikilideki bir bölge yalnız derecesi 3 olduğunda üçgen çevirmesiyle yer değiştirebiliyor. Yani aramanın bu tekrara nişan alan önerileri tam isabet ettiğinde hiçbir şey yapamıyordu. Tekrar miras: ayrıştırılmış başlangıç diyagramında bu etiket zaten iki kez geçiyor, biri 18 dereceli bir bölge olarak.

Çözüm, bir öneri sınıfı eklemek oldu: nişan alınan öneri derecesi 3'ten büyük bir tekrara düştüğünde, doğrudan o dereceyi küçültmeye çalışıyor. Donmuş bir durumdan 25 dakika bu öneriyle çalıştırmak tekrarı teke indirdi; aynı yerde onsuz geçen 45 dakika hiçbir şeyi değiştirmemişti. Sonraki üç saatlik soğutma, geriye yalnız iki eksik etiket bıraktı.

Diyagramların dokuzundan altısı bu tek devir durumundan türüyor — yani birbirlerinin akrabası. Üçü ise tamamen bağımsız: 20 Eylül'de başlatılan 32 adet 36 saatlik koşudan üçü hedefe ulaştı; biri 32,6, biri 33,3, biri 34,0 saat sonra, 11 ile 21 milyar arasında öneri değerlendirerek. Bu üçünün her biri, tablodaki diğer bütün diyagramlarla yüzlerinin yalnızca onda biri kadarını paylaşıyor.

Bulgunun sınırı: ispat mı, örnek mi

Bu bir teorem ispatı, ama en mütevazı türünden: örnek göstererek. Makalenin teoremi "17 ve 19 eğrili basit simetrik Venn diyagramları vardır" diyor, hepsi bu. Grünbaum'un asıl sorusu — her asal n için var mı — açık kalıyor. 23 ve ötesi için hâlâ hiçbir şey bilinmiyor, ve bulunan diyagramlar genel bir kuruluş tarifi vermiyor.

Buna karşılık doğrulama tarafı alışılmadık biçimde sağlam. On üç diyagramın her biri makinede denetlenebilir bir belge olarak veriliyor; birbirinden bağımsız yazılmış üç ayrı denetleyici (biri C++, biri Python, üçüncüsü ham arama durumunu doğrudan denetleyen ve ilk ikisiyle hiç kod paylaşmayan bir program) hepsini kabul ediyor. Dahası, her iki boyuttan birer belge Lean 4 ispat asistanıyla resmî olarak doğrulandı: 17 eğrili belgeyi Justin Grimes, yalnızca tanımlardan yola çıkarak ve arama kodunu görmeden bağımsız olarak Lean diline aktardı; 19 eğriye uyarlamayı Codex onun kaynaklarından yaptı ve derlemesi yirmi dakika sürüyor. Yani çizimlerin geçerliliği, onları bulan programa güvenmeyi gerektirmiyor.

Bir uyarı: makale 22 Eylül 2026'da arXiv'e konmuş bir ön baskı ve henüz hakem değerlendirmesinden geçmedi. Belgeler, arama kodu, kayıtlar ve Lean ispatları GitHub'da ve Zenodo'da açık; makine ispatı bu durumda hakemliğin yerini kısmen tutuyor, ama tümüyle tutmuyor.

Dikkat çeken ikinci şey: hesabın ucuzluğu

Elli yıllık bir açık problemin kenarını kırmak için kullanılan donanım, baştan sona bir adet 16 çekirdekli dizüstü bilgisayar ve 19 eğrili koşular için bulutta en fazla 24 vCPU'luk örnekler. Aynı anda yüz vCPU'yu aşmamış, hiçbir örnek iki günden uzun çalışmamış; toplam bulut maliyeti beş yüz doların altında. Makalenin üçüncü dipnot gibi duran ama asıl haber olabilecek ayrıntısı bu: hesap gücü değil, arama uzayının doğru tarif edilmesi işi çözdü.

Dzoba araç kullanımını, Yapay Zekâ ve Matematik üzerine Leiden Bildirgesi'nin ruhuna uyarak tam olarak açıkladığını yazıyor. Bu, alanda tartışması süren bir konu: bir aramayı tasarlayan ve koşturan dil modeli "yardımcı" mı, "ortak yazar" mı, yoksa bir hesap aracı mı?

Sırada ne var

Açık sorular belli. Aynı yürüyüş 23 eğriye çıkabilir mi — 8,4 milyon bölgeyle, 19'un on altı katı bir uzayda? Monoton olmamak bir rastlantı mı, yoksa büyük asallarda simetrinin zorunlu bedeli mi? Ve en can alıcısı: bulunan on üç örnek incelenerek elle yazılabilir genel bir kuruluş çıkarılabilir mi, yoksa bu diyagramlar hep aranarak mı bulunacak?

Son soru matematiğin kendisiyle ilgili. Bir nesnenin var olduğunu bilmek ile onu niçin var olduğunu anlamak farklı şeylerdir; 524.288 bölgeli bir çizim, ikincisine pek yardım etmiyor.

Fotoğraf: Cmglee, CC BY-SA 3.0, Wikimedia Commons