Dört renk teoremine yeni kanıt: 150 yıllık harita bilmecesi bu kez hızlı bir algoritma doğurdu

Haritadan noktalara ve çizgilere

Matematikçiler bu soruyu harita üzerinde değil, düzlemsel graf denen soyut bir çizim üzerinde düşünür. Her ülke bir nokta olur, sınır komşusu iki ülkenin noktaları bir çizgiyle birleştirilir; çizgiler birbirini kesmez. Böylece coğrafya kaybolur, geriye yalnızca "kim kiminle komşu" bilgisi kalır. Soru da şuna dönüşür: Birbirine bağlı iki nokta aynı renkte olmayacak şekilde bütün noktalar dört renkle boyanabilir mi?

Kempe'nin zarif ama kusurlu kanıtı

Guthrie soruyu kardeşi Frederick'e, o da hocası Augustus De Morgan'a iletti. De Morgan'ın 1852'de William Hamilton'a yazdığı mektupta, bir öğrencisinin kendisinden "bilmediği, hâlâ da bilmediği bir olgunun" gerekçesini istediğini yazdığı biliniyor. 1879'da Alfred Bray Kempe bir kanıt duyurdu ve bu duyuru Nature'da yer aldı.

Kempe'nin fikri tersinden başlamaktı: Dört renkle boyanamayan bir harita olduğunu ve bunun mümkün olan en küçük örnek olduğunu varsay. Leonhard Euler'in 18. yüzyılda gösterdiği bir özellik sayesinde, her düzlemsel grafta en fazla beş komşusu olan en az bir nokta bulunur. Kempe bu küçük yapıları tek tek çıkarıp renkleri akıllıca değiş tokuş ederek, o noktayı geri koyunca beşinci bir renge gerek kalmadığını göstermeye çalıştı. Böylece "boyanamayan harita" varsayımı çelişkiye düşecekti.

On bir yıl sonra Percy John Heawood, beş komşulu noktada renk değiştirme yönteminin işlemediğini fark etti. Yine de Kempe'nin renk değiş tokuş hilesi bugün "Kempe zinciri" adıyla anılıyor ve sonraki bütün kanıtların merkezinde duruyor. Yeni kanıtın yazarlarından Danimarka Teknik Üniversitesi'nden Carsten Thomassen, Quanta'ya "Adınızla anılacak kadar ilginç bir hata yapmanız ilginç değil mi?" diyor.

Bilgisayarla gelen "skandal"

Kempe'nin eksiği ancak çok daha büyük bir yapı listesiyle kapatılabiliyordu: "kaçınılmaz" (her grafta mutlaka bulunan) ve her biri "indirgenebilir" (çıkarılıp geri konunca dört renkle idare edilebilen) binlerce yapı. Bunu elle kontrol etmek imkânsızdı. 1976'da Kenneth Appel ve Wolfgang Haken listeyi 1.482 yapıya indirip Illinois Üniversitesi'nin bilgisayarlarıyla tek tek doğruladı.

Tepkiler karışıktı. Colorado Üniversitesi'nden matematikçi Ellen Gethner'in Quanta'ya anlattığına göre o dönem bilgisayarlar ürkütücü, iç işleyişi bilinmez kutular olarak görülüyordu; "Bir elektrik dalgalanması olur da kanıtı çürütecek tek yapıyı atlarsanız ne olacak?" diye soruluyordu. Tartışma, 1997'de başka bir ekibin yöntemi sadeleştirip 633 yapıyla yeni bir bilgisayar kanıtı sunmasıyla büyük ölçüde yatıştı.

Nyborg sahilinde başlayan yeni bölüm

Quanta'nın aktardığına göre yeni hikâye 2015'te Danimarka'nın Nyborg kasabasında, bir konferans sırasında sahilde başladı. Japonya Ulusal Bilişim Enstitüsü'nden Ken-ichi Kawarabayashi ile Kopenhag Üniversitesi'nden Mikkel Thorup, 1997 kanıtının bir eksiğine takılmıştı: Kanıt herhangi bir haritayı dört renkle boyamanın tarifini veriyordu ama tarif yavaştı. n noktalı bir graf için adım sayısı kabaca n'nin karesiyle büyüyordu. Çünkü yapılar birer birer bulunup çıkarılmak zorundaydı.

Ekip, Simon Fraser Üniversitesi'nden Bojan Mohar ve Thomassen'in katılımıyla, aynı anda ve birbirini bozmadan çıkarılabilecek yapılar aradı. Bunun için önceki kanıtların pek bakmadığı yerlere, her noktanın tam altı komşusu olduğu, üçgenlerle döşenmiş gibi duran "düz" bölgelere yöneldi. Bu bölgeler işlenmesi zor ama çok yaygın; bol seçenek demek. Kawarabayashi'nin lisansüstü öğrencileri Yuta Inoue ve Atsuyuki Miyashita'nın da katıldığı arama aylarca bilgisayar zamanı aldı. Sonunda 8.202 yapılık yeni bir kaçınılmaz küme ortaya çıktı.

Sonuç: Grafın büyüklüğüyle neredeyse doğrusal artan, yani n log n düzeyinde adım gerektiren bir boyama yöntemi. Bin noktalı bir grafta bile fark büyük; milyonlarca noktalı ağlarda ise uçurum. Mart 2026'da arXiv'de paylaşılan çalışma, Quanta'ya göre kasım ayında Foundations of Computer Science konferansında sunulacak. Hakem sürecinden geçmiş bir dergi yayını henüz değil.

Kanıttan fazlası, ama aranan kanıt değil

Gethner'e göre asıl değer yeni başlıkta değil, kurulan araçlarda: Grafların daha önce görülmemiş yapısal özellikleri ortaya çıktı. Araştırmacılar aynı teknikleri, düzlem yerine simit biçimli yüzeyler (torus) üzerine çizilen graflara uygulamaya çalışıyor.

Yine de 150 yıldır süren arayış bitmiş değil. Yeni kanıt da bilgisayara dayanıyor ve "dört renk neden yeter?" sorusuna herkesi "tabii ya" dedirtecek kısa bir açıklama getirmiyor. Thomassen'in Quanta'ya söyledikleri bu yüzden hâlâ güncel: "İstediğim, bilgisayar kullanmayan bir kanıt. Bunu düşünmeyi de hiç bırakmayacağım."

Fotoğraf: Tomwsulcer, CC0, Wikimedia Commons