Oylama Neden Klein Şişesine Benziyor? 240 Yıllık Condorcet Paradoksunun Şekli

Condorcet'nin döngüsü

Fransız matematikçi ve filozof Nicolas de Condorcet, bu döngüyle 1785'te karşılaştı. Quanta'nın aktardığına göre Condorcet, Fransız Bilimler Akademisi'nin sekreteriydi ve kuruma yeni üyelerin adil biçimde alınmasını sağlayacak yöntemler arıyordu. Bulduğu şey şuydu: tek tek her oy veren tutarlı bir sıralama yapsa bile, çoğunluğun toplu tercihi kendini ısıran bir yılan gibi döngüye girebilir.

Arrow: Hiçbir yöntem her şartı birden sağlayamaz

1951'de iktisatçı Kenneth Arrow, sorunun bir yöntem kusuru olmadığını, işin doğasında yattığını kanıtladı. Arrow'un aradığı, birkaç masum görünen şartı aynı anda karşılayan bir sıralama yöntemiydi: herkes adayları istediği sırayla dizebilmeli; tek bir kişi sonucu tek başına belirleyememeli; herkes bir seçeneği diğerine tercih ediyorsa grup da öyle sıralamalı; iki adayın grup içindeki sırası yalnızca o ikisinin karşılaştırmasına bağlı olmalı, üçüncü bir adayın nereye yazıldığı bunu değiştirmemeli.

Arrow imkânsızlık teoremi diye bilinen sonuç, bu şartların hepsini birden sağlayan bir yöntem olmadığını söyler. Bir benzetmeyle: dört bacaklı bir masa kurmak istiyorsunuz ama bacakların biri her seferinde kısa kalıyor; hangi bacağın kısa kalacağını seçebilirsiniz, hepsini eşitleyemezsiniz. Oxford Üniversitesi'nden Iain McLean, Quanta'ya "Çoğu zaman halkın iradesi diye bir şey yoktur" dedi ve ekledi: tasarımcı, hangi şartı çiğnemenin en zararsız olduğuna karar vermek zorunda.

Hamur gibi şekiller: Topoloji sahneye çıkıyor

Topoloji, şekilleri yırtmadan ve yapıştırmadan esnetip büküldüğünde değişmeyen özellikleriyle inceleyen matematik dalıdır. Bir topolog için kahve fincanı ile simit aynı şeydir; ikisinde de tek bir delik vardır ve hamur gibi biri ötekine dönüştürülebilir.

1980'de matematikçi ve iktisatçı Graciela Chichilnisky, Advances in Mathematics dergisindeki makalesinde toplu karar sorununu topolojiyle ele aldı. Yeni çalışmanın aktardığına göre Chichilnisky, Condorcet paradoksundaki döngüsel öğenin topolojik bir soruna işaret ettiğini öne sürmüştü. 1993'te bugün Illinois Üniversitesi Urbana-Champaign'de profesör olan Yuliy Baryshnikov, Advances in Applied Mathematics dergisinde Arrow teoremine topolojik bir kanıt veren bir model yayımladı.

Altı üçgenden bir tüpe

Baryshnikov'un fikri şöyle işliyor. Üç adaylı bir oylamada bir kişinin oy pusulası altı farklı sıralamadan biri olabilir. Her sıralama bir üçgenle gösterilir; üçgenin her köşesi pusulanın içerdiği ikili karşılaştırmalardan birini temsil eder: "A, B'den önde" gibi. İki pusula iki karşılaştırmada anlaşıyorsa, üçgenleri ortak kenarlarından birbirine eklenir.

Altı üçgen bu şekilde yan yana dizilince bir şerit oluşur. Şeridin iki ucu da birbirine uyduğu için bükülüp yapıştırılır ve iki ucu açık bir tüp elde edilir. İşin ilginç yanı tüpün ağızlarında: bir ağzın çevresinde karşılaştırmalar "A, B'yi; B, C'yi; C de A'yı geçer" diye okunur, öteki ağızda aynı döngü ters yönde döner. Yani Condorcet'nin döngüleri tam da kenarlarda oturuyor. Baryshnikov bu kenarlarla ilgilenmemişti.

Bir bükülme ve Klein şişesi

Sidney Üniversitesi'nde doktora öğrencisi Ori Livson bu kenarlara geri döndü. Taş-kâğıt-makas oyununda döngü sorun değildir; taş makası, makas kâğıdı, kâğıt da taşı yener ve kimse çelişki görmez. Ama sıralama beklenen bir oylamada döngü çelişkidir. Livson, döngünün serbest olduğu durumla yasak olduğu durumu birbirinden ayırabilen bir model istiyordu. Danışmanı Mikhail Prokopenko ve Chennai Matematik Enstitüsü'nden Siddharth Pritam ile birlikte çalıştı.

Ekibin akıl yürütmesi şu: iki ağızdaki döngü de aynı imkânsız sonuca varır, her aday her adaydan önde olur. Livson'un Quanta'ya söylediği gibi topolojide "iki şeyin aynı olduğunu fark ettiğiniz anda onları birbirine yapıştırabilirsiniz." Tüpün iki ağzını düz yapıştırmak bir simit, yani torus verir; ama bu, birbiriyle çelişen sıralamaları eşleştirir. Çözüm, bir ağzı ters çevirerek yapıştırmak. Livson'a göre "bükülerek yapıştırmak tek geçerli seçenek."

Bir kâğıt şeridi bir kez burup uçlarını birleştirirseniz tek yüzlü Möbius şeridi çıkar. Aynı burmayı bir tüpe uygularsanız Klein şişesi elde edersiniz. Klein şişesinin de tek yüzü vardır ama Möbius şeridinden farklı olarak hiç kenarı yoktur. Üç boyutta kendi içinden geçiyormuş gibi görünür; matematikçiler onu dört boyutta, kendini kesmeden kurar.

Benzerlik şurada: her oy veren tutarlı bir sıralama sunar ama toplam tek bir sıraya sığmaz. Klein şişesinin her küçük parçası iki yüzlü görünür ama bütün yüzey boyunca "iç" ve "dış" tutarlı biçimde ayrılamaz.

Bulgunun sınırları

Çalışma arXiv'de "The Non-Orientable Topology of Condorcet's Paradox" başlığıyla yer alıyor; ilk sürümü 12 Ocak 2026'da yüklendi, son sürümü 16 Eylül 2026 tarihli. arXiv kaydında bir dergi yayımı bilgisi bulunmuyor, yani bağımsız hakem sürecinden geçtiğine dair bir işaret yok.

Ayrıca sonuç yalnızca üç seçenekli ve kesin sıralamalı durum için kuruluyor. Makalenin kendi ifadesiyle ortaya çıkan yüzey, döngülerin modelde nasıl temsil edildiğine bağlı olarak ya Klein şişesine ya da gerçel projektif düzleme denk geliyor; ikisi de "yönlendirilemez" yüzeyler, yani tutarlı bir iç-dış ayrımına izin vermiyor. Yazarlar Arrow teoremini bir yüzeyin yönlendirilebilirliği üzerinden yeniden ifade ettiklerini belirtiyor, ama bunun teoreme bağımsız yeni bir kanıt değil, topolojik bir yeniden ifade olduğunu da açıkça yazıyor.

Sırada ne var

Livson, Pritam ve Prokopenko için asıl merak konusu daha geniş: matematikteki başka imkânsızlık sonuçlarına da bir şekil verilirse, hepsinin altında ortak bir geometri çıkabilir mi?

Öte yandan topoloji, hangi oylama yönteminin seçilmesi gerektiğini söylemiyor. McLean'ın Quanta'ya dediği gibi: "Bu aslında matematiksel bir tartışma değil, değerlerle ilgili bir tartışma."

Fotoğraf: Gelada, CC BY-SA 3.0, Wikimedia Commons