OpenAI'ın Navier-Stokes ispatı: Matematikçiler neden ikiye bölündü?

Hangi problem, iddia tam olarak ne?

Clay Matematik Enstitüsü 2000 yılında yedi problem seçti ve her birinin çözümüne 1 milyon dolar ödül koydu. Live Science'ın hatırlattığına göre bugüne dek enstitünün tatmin olduğu tek çözüm Poincaré sanısınınki. Söz konusu problem ise akışkanlarla ilgili: Navier-Stokes denklemlerinin varlık ve düzgünlük sorusu.

Navier-Stokes denklemleri suyun, havanın, kısacası akan her şeyin hareketini Newton'un ikinci yasasından yola çıkarak tarif eder. Quanta Magazine'in anlatımıyla bu denklemler 19. yüzyılın ortasında yazıldı ve o günden beri akışkanlar mekaniğinin merkezinde. Açık kalan soru şuydu: Üç boyutlu, sınırsız bir uzayda, pürüzsüz başlayan bir akış hep pürüzsüz mü kalır, yoksa sonlu bir sürede akışkanın sonsuz küçük bir parçası sonsuz hıza ulaşabilir mi? Matematikçiler bu kopuşa "tekillik", olayın kendisine de "patlama" (blowup) der.

OpenAI 8 Eylül'de ikinci ihtimali kanıtladığını açıkladı. Şirketin açıklamasını aktaran CNBC'ye göre, kamuya açık olmayan bir iç model tarafından yönetilen ve aynı anda "10 bin mertebesinde" çalışan yapay zekâ ajanı, ilk ajanlar başlatıldıktan yaklaşık 88 saat sonra, 5 Eylül Cumartesi günü sonuca ulaştı. Quanta'ya göre sonuç, ardından 17 saat içinde başka bir modelle Lean ortamında biçimsel olarak doğrulandı. OpenAI bilgisayar bilimcisi Ven Chandrasekaran, Nature'ın aktardığı basın toplantısında ispatın, "tamamen normal başlayıp Navier-Stokes denklemleri altında sonlu sürede sonsuz hıza ulaşan akışkanların var olduğunu" gösterdiğini söyledi.

Bunun gerçek dünyaya doğrudan bir etkisi yok. Quanta'nın vurguladığı gibi gerçek akışkanlar moleküllerden oluşur ve denklemlerin varsaydığı sonsuz pürüzsüzlük doğada bulunmaz. Sonucun önemi, Newton yasası kadar yalın bir başlangıçtan bu kadar sezgiye aykırı bir davranışın çıkabilmesinde.

Kimin fikri, kimin ispatı?

Hikâyenin ikinci kahramanları New York Üniversitesi'nden Tristan Buckmaster ve yapay zekâ şirketi Anthropic'te çalışan matematikçi Levent Alpöge. TechCrunch'ın aktardığına göre ikili, şirket adına değil kişisel bir iş birliği olarak, hem Anthropic'in hem OpenAI'ın modellerini kullanarak yaklaşık bir yıldır bu soru üzerindeydi. Buckmaster 7 Eylül gece yarısına doğru üç sonuç yayımladı: gözenekli ortam, Boussinesq ve üç boyutlu Euler denklemlerinde, pürüzsüz bir dış kuvvet altında sonlu zamanda patlama. Euler denklemleri, sürtünmesi (viskozitesi) olmayan ideal akışkanı anlatır; Navier-Stokes'un daha basit akrabasıdır. Quanta'ya göre Euler ispatları 22 Ağustos'ta Lean ile doğrulanmıştı.

Buckmaster'ın dört sayfalık açıklamasındaki asıl mesele, OpenAI ile yaptığı görüşmeler. Anlattığına göre şirketten bir araştırmacı ona iki öneri sundu: Ya ikili Euler sonucunu yayımlayacak, OpenAI da ertesi gün Navier-Stokes'u duyuracaktı; ya da Buckmaster tek başına, OpenAI modelinin çözdüğünü belirten bir makale yazacaktı. Buckmaster, OpenAI araştırmacısı Sébastien Bubeck'in Alpöge'nin yazarlıktan çıkarılmasını iki kez istediğini yazdı. Öneriyi reddedip olanları kamuoyuyla paylaşacağını söyleyince, "Neden kariyerini mahvedesin?" ve "Nazik olmamı istemiyorsan, nazik olmak zorunda değilim" yanıtlarını aldığını aktardı.

Buckmaster'ı şüphelendiren bir teknik ayrıntı da var. TechCrunch'a göre kullandıkları yol, Madrid'den Diego Córdoba ile Luis Martínez-Zoroa'nın açtığı, pürüzsüz dış kuvvet üzerinden ilerleyen alışılmadık bir rotaydı. Buckmaster, "Bu, bir modele problemin tanımını verip birkaç günde varılacak bir yön değil" diye yazdı. Taslaklarını OpenAI'ın Codex aracına girdiklerini ve modelin bu oturumlarla eğitilip eğitilmediğini sorduğunu, net yanıt alamadığını belirtti. Yine de dikkatli bir sınır çizdi: "OpenAI'ın ispatını görmedim. Modelin ne yaptığını bilmiyorum. Verilerimizin kullanılıp kullanılmadığını bilmiyorum. Kimseyi bir şeyle suçlamıyorum."

OpenAI ne diyor?

OpenAI kendi açıklamasında, Navier-Stokes çalışmasına 1 Eylül'de, bir söylenti duyduktan sonra başladığını ve bu söylentinin Alpöge ile Buckmaster'la ilgili olduğunu sonradan anladığını kabul ediyor. TechCrunch ve CNBC'nin aktardığı metne göre şirket, "Araştırmacılar da ajanlar da onların çalışmasını kamuya açıklanana kadar hiçbir yolla görmedi" diyor. Aynı cümlenin devamında ise bir ihtiyat payı bırakıyor: Düşük bir ihtimal olsa da, ikilinin ürün kullanımından türetilmiş, kimlikten arındırılmış verilerin modellerini geliştirmiş olmasını dışarıda bırakamayacaklarını, ancak ispatların belirgin biçimde farklı olduğunu söylüyor.

Bubeck ise Fortune'un aktardığına göre X'te, hakkında "yanlış ve kışkırtıcı iddialar" dolaştığını, tartışmaya akademik normlara uyarak girdiğini yazdı. Basın toplantısında da Alpöge ve Buckmaster'ın çalışmasının önceliğini tanıdıklarını söyledi. Quanta'ya göre OpenAI, Euler sonucunda önceliği ikiliye bırakırken Navier-Stokes sonucunu kendine ait sayıyor.

Olayı ilk yazanlardan biri Harris'ti: "Silicon Reckoner" adlı bültende Buckmaster'ın açıklamasından uzun alıntılar yayımladı. Taraflardan hiçbirinin anlatısı henüz bağımsız biçimde doğrulanmış değil; Quanta'nın deyişiyle görüşmelerin ayrıntıları "bulanık" ve farklı taraflar farklı sürümler anlatıyor.

Heidelberg'de dört farklı ses

Genç araştırmacıları ödüllü matematikçi ve bilgisayar bilimcileriyle buluşturan Heidelberg Laureate Forum'daki panel, bu tartışmanın matematik dünyasını nasıl böldüğünü gösterdi. Live Science'ın panel haberine göre:

• Michael Harris (Columbia), yaşananları 19. yüzyılda sömürgeci güçlerin toprak ele geçirmesine benzetti ve ikisinin de önünde yasal bir engel olmadığını söyledi. Matematikçileri korumak için bir düzenleyici çerçeve istiyor; o gelene kadar "topluluğa zarar verecek şekilde davrananların saygın üye sayılmaması" gerektiğini düşünüyor.
• Geordie Williamson (Sidney Üniversitesi), Harris'in bu görüşüne katıldı.
• Jacob Tsimerman (Toronto Üniversitesi, 2026 Fields Madalyası), temmuzda OpenAI'a yapay zekâ güvenliği araştırmacısı olarak katıldı. Ona göre asıl haber gözden kaçıyor: "Yapay zekâ bir Milenyum Problemi'ni çözdü." Tsimerman, değeri insanların sınırda yavaş yavaş ilerlemesine veriyorsak bunun sona erdiğini, değeri yeni matematiğin üretilmesine veriyorsak bir altın çağa girdiğimizi söyledi.
• Peter Scholze (Max Planck Matematik Enstitüsü eş direktörü, 2018 Fields Madalyası), duyuruyu "bir tür halkla ilişkiler çalışması" olarak gördü. Ona göre Milenyum Problemleri'nin amacı tek bir soruyu kapatmak değil, çevresindeki pek çok soruya insanların anlayabileceği yeni bir bakış getirmek. Uzun, makine üretimi bir ispatın bunu sağlaması zor. Hiç büyük dil modeli kullanmadığını söyleyen Scholze, izleyicilere "aptal telefonunu" da gösterdi.

İlginç olan, OpenAI'ın rakiplerinden de övgü gelmesi. Clay'in problem tanımını yazan Princeton Üniversitesi'nden Charles Fefferman, Quanta'ya problemin çözülmesinden heyecan duyduğunu, ancak hikâyenin asıl kahramanlarının Córdoba ile Martínez-Zoroa olduğunu söyledi. Buckmaster da açıklamasında Martínez-Zoroa'nın Fields Madalyası'nı hak ettiğini yazdı.

Bir ispat nasıl "kabul" edilir?

Burada önemli bir ayrım var: Bir ispatın doğru olması, ödülün verilmesi ve ispatın kime ait sayılması üç ayrı soru.

Lean ne sağlar, ne sağlamaz? Lean, matematiksel ispatları bilgisayarın adım adım denetleyebileceği bir dilde yazmaya yarayan bir programlama dili ve ispat denetleyicisi. Denetimden geçen bir ispatta mantık hatası kalmaz. Ama Quanta'nın altını çizdiği gibi insanın yapması gereken kritik bir iş duruyor: Lean'de kanıtlanan ifadenin, matematikçilerin kanıtlamak istediği ifadeyle mantıksal olarak aynı olduğundan emin olmak. Bir benzetmeyle, hesap makinesi toplamayı kusursuz yapar; ama doğru sayıları girip girmediğinizi söylemez.

Clay'in kuralları acele etmiyor. Enstitünün kurallarına göre çözüm doğrudan Clay'e gönderilemiyor. Bir önerinin değerlendirmeye alınması için üç koşul gerekiyor: nitelikli bir yayın organında yayımlanmış olması, yayımdan sonra en az iki yıl geçmesi ve dünya matematik topluluğunda genel kabul görmesi. Clay, 11 Eylül'de yaptığı açıklamada Navier-Stokes probleminin "görünüşe göre" çözüldüğünü, bu işin arkasındaki yeniliklerin incelenip sorgulanmasıyla yeni insan anlayışı dalgaları doğmasını umduğunu yazdı. Kredinin nasıl dağıtılacağını da kurallarındaki sürecin belirleyeceğini, bu sürecin "bilinçli olarak telaşsız" olduğunu ekledi.

Tabloda tarihler Live Science, Quanta Magazine ve Clay Matematik Enstitüsü'nün açıklamalarından derlendi.

Sırada ne var?

Matematiksel soru muhtemelen görece çabuk netleşecek: Biçimsel doğrulama, uzmanların ispatı okuması ve ifadenin Clay'in tanımıyla örtüştüğünün gösterilmesi bu işin parçası. Öncelik ve emek tartışmasının ise matematiğin kendi araçlarıyla çözülebileceği belli değil. Live Science'a göre "Proofs and Prompts", "Mathematical Discourse" ve "Association for Human Mathematics" gibi girişimler insan eliyle yapılan matematiğin bir çekirdeğini korumaya çalışıyor. Paneldekiler bu girişimlerin etkisi hakkında net bir öngöride bulunmadı. Tsimerman'ın sözleri belki de tek ortak noktayı özetliyor: Beş, hatta on yıl sonrası ona "akıl almayacak kadar uzak" görünüyor; iki yıl sonra dünyanın bugünkünden çok farklı olacağını düşünüyor.

Fotoğraf: NASA Langley Research Center (NASA-LaRC), Edited by Fir0002, Public domain, Wikimedia Commons