Tek sayı ve tek işlemle bilimsel hesap makinesi: EML fonksiyonu ne gösteriyor?

Bilimsel bir hesap makinesinin klavyesine baktığımızda karekökten trigonometriye, logaritmadan sabitlere kadar onlarca tuş görürüz. 2026 yılında yayımlanan bir araştırma ise bu kalabalığın kuramsal olarak gereksiz olduğunu ortaya koydu: Tüm bu işlevler, yalnızca bir sayı ve iki değişkenli tek bir işlemle elde edilebiliyor. Üstelik bu sadeleşme, günlük kullanım açısından pek de kullanışlı değil.

Logaritma tablolarından Benford yasasına

Hesap makineleri yaygınlaşmadan önce matematikçiler, mühendisler ve astronomlar logaritma değerlerini kalın tablolardan okurdu. Bu iş hem zaman hem dikkat isterdi. Yine de zahmetli çalışma bazen beklenmedik sonuçlar doğururdu. Astronom Simon Newcomb, 1881'de tabloların ilk sayfalarının diğerlerinden belirgin biçimde daha fazla yıprandığını fark etti. O sayfalarda ilk basamağı 1 olan sayılar bulunuyordu. Newcomb, insanların hesaplarda kullandığı sayıların ilk basamaklarının eşit sıklıkla görülmediğini düşündü.

Bu gözlem, sonradan Benford yasası diye anılan düzenliliğin keşfine katkı sağladı. Yasaya göre belirli veri kümelerinde sayıların yaklaşık %30'u 1 ile başlar, 9 ile başlayanların oranı ise yalnızca %4,6 civarındadır. Kural her sayı kümesinde geçerli değildir, ama nüfus verilerinden mali kayıtlara uzanan çeşitli alanlarda karşımıza çıkar.

EML: tek işlemle 36 yapı

Polonya'daki Jagiellonian Üniversitesinden fizikçi Andrzej Odrzywołek, “Bu kadar çok tuşa gerçekten ihtiyaç var mı?” sorusuna şaşırtıcı bir yanıt verdi. Ona göre bir bilimsel hesap makinesinin temel işlevlerini kurmak için 1 sayısı ile iki değişkenli tek bir işlem yeterli. Araştırmacı, hesap makinelerinde bulunan 36 farklı işlem, fonksiyon ve sabitin tamamının bu iki yapıdan türetilebildiğini gösterdi.

Fikrin dayanağı şu: Toplama, çıkarma, karekök, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar ilk bakışta birbirinden bağımsız görünse de ileri matematikte çoğu başka fonksiyonlar cinsinden yazılabiliyor. Odrzywołek, bu sadeleştirmenin ne kadar ileri götürülebileceğini sordu. Öncelikle Mathematica yazılımının kullandığı temel işlemleri inceledi, ardından olası fonksiyonları sistematik biçimde deneyen bir program geliştirdi. Sonuçta 1 sayısıyla birlikte EML adını verdiği işlemin yettiğini buldu.

EML, İngilizce “exponential minus logarithm” ifadesinin kısaltması. İşlem eml(x, y) = e^x − ln(y) biçiminde tanımlanıyor; yani üstel fonksiyonla logaritmayı tek adımda birleştiriyor. Euler sayısını elde etmek için iki değişkene de 1 yazmak yeterli: eml(1, 1) = e − ln(1) = e. Sıfır ise daha dolambaçlı. Önce e bulunuyor, sonra eml(e, 1) ile e^e elde ediliyor, son adımda eml(1, e^e) işlemi e − e sonucunu, yani sıfırı veriyor. Sinüs gibi fonksiyonlar için EML'nin birçok kez iç içe kullanılması gerekiyor. Çalışmanın matematiksel sonuçları ayrıca Lean adlı bilgisayar destekli ispat sistemiyle doğrulandı.

Arka plan: NAND benzetmesi

Bu yaklaşımın bilgisayar bilimlerinde eski bir akrabası var. Matematikçi Henry Sheffer, 1913'te bütün Boole mantık işlemlerinin tek bir mantıksal işlemle kurulabileceğini gösterdi. Bugün NAND adıyla bilinen bu işlem dijital elektroniğin temel taşlarından biri. NAND kapıları uygun biçimde birleştirilerek diğer mantık işlemleri ve karmaşık dijital devreler oluşturulabiliyor. Odrzywołek'in çalışması, benzer bir “tek yapı taşı” fikrini sürekli matematiğin işlevleri için uyguluyor.

Genel olarak böyle indirgemeler, bir alanın yapısını anlamak açısından değer taşır. Hangi işlemlerin gerçekten temel, hangilerinin türetilmiş olduğunu görmek, matematiksel fonksiyonlar arasındaki gizli bağları ortaya çıkarır. Mühendislik tarafında ise tek tip bir yapı taşı, kuramsal olarak çok düzenli bir tasarım fikri sunar.

Neden önemli?

Haberdeki değerlendirmeye göre sonuç kuramsal olarak ilgi çekici, ancak pratik kullanımı sınırlı. İki tuşlu bir hesap makinesi çok küçük olabilir, fakat kullanması zordur. Normal bir cihazda sıfır yazmak için tek tuşa basılırken, bu sistemde aynı sonuç için birkaç EML işleminin doğru sırayla yapılması gerekir. Hesaplar karmaşıklaştıkça işlem sayısı hızla artar. Bu yüzden çalışma, hesap makinesi tasarımında bir devrim değil, matematiğin ne kadar sade bir temele indirgenebileceğine dair şaşırtıcı bir örnek olarak okunmalı.

Yine de bu tür sonuçlar, bazen başlangıçta pratik görünmeyen fikirlerin sonradan beklenmedik alanlara yol açabileceğini hatırlatır. Logaritma tablolarındaki yıpranmış sayfaların Benford yasasına giden yolu açması da buna iyi bir örnektir.