Yapay zekânın quasi-Riemann ispatı: Riemann hipotezi çözülmedi, peki ne kanıtlandı?

Yine de baştan net olalım: Riemann hipotezinin kendisi çözülmüş değil. Kanıtlanan şey, hipotezin işaret ettiği hedefe giden yolda büyük ama ara bir adım. Bu adımın ne olduğunu anlamak için önce asıl soruya bakmak gerekiyor.

Asal sayılar ve bir fonksiyonun sıfırları

Asal sayılar, yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen tam sayılar: 2, 3, 5, 7, 11… Sayı doğrusunda ilerledikçe seyrekleşirler, ama bu seyrekleşmenin düzeni yüzyıllardır matematikçilerin peşinde olduğu bir sır. Asalları başka bir nesneye bağlayan ilk köprüyü 1737'de Leonhard Euler kurdu. Euler, 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + … biçimindeki sonsuz toplamın, yalnızca asal sayılarla yazılan sonsuz bir çarpıma eşit olduğunu gösterdi. Bugün bu toplama Riemann zeta fonksiyonu deniyor ve ζ(s) diye yazılıyor.

Adını veren Bernhard Riemann, 1859'da bu fonksiyonu karmaşık sayılara genişletti. Karmaşık sayının iki parçası var: "gerçel" kısım ve -1'in karekökünün katı olan "sanal" kısım. Bu yüzden her karmaşık sayı bir düzlemde bir nokta gibi düşünülebilir; yatay eksen gerçel kısım, dikey eksen sanal kısım. Riemann'ın fark ettiği şey çarpıcıydı: asalların tam olarak nasıl seyrekleştiği, zeta fonksiyonunun hangi noktalarda sıfır değerini aldığına bağlı.

Sıfırların bir kısmı kolay: -2, -4, -6 gibi negatif çift sayılarda fonksiyon sıfır olur, bunlara "aşikâr sıfırlar" denir. Asıl merak edilen öteki sıfırlar. Riemann, bunların gerçel kısmı 0 ile 1 arasındaki dikey bir şeridin, yani kritik şeridin içinde kalması gerektiğini gösterdi. 1896'da Jacques Hadamard ile Charles de la Vallée Poussin, sıfırların şeridin kenarına, gerçel kısmı 1 olan çizgiye değemeyeceğini kanıtladı. Bu kadarı bile, asalların ortalamada ne hızla seyrekleştiğini veren asal sayı teoremine yetti.

Riemann hipotezi ise çok daha keskin bir şey söylüyor: aşikâr olmayan sıfırların hepsi, gerçel kısmı tam 1/2 olan tek bir dikey çizginin üzerinde duruyor. Hipotez doğruysa, asalların asal sayı teoreminin verdiği ortalamadan sapmaları her zaman küçük kalır. Quanta'nın aktardığına göre ilk 12 trilyon sıfırın bu çizgide olduğu sayısal olarak doğrulandı; ama sonsuz sayıda sıfır var ve tek bir aykırı sıfır bütün tabloyu değiştirirdi. Problem, David Hilbert'in 1900'deki ünlü listesinde de, Clay Matematik Enstitüsü'nün yedi Milenyum Problemi'nde de yer alan tek soru.

"Quasi" ne demek: çizgi yerine koridor

Riemann hipotezini bir otoyolun tam ortasındaki şerit çizgisi gibi düşünün: bütün sıfırların bu çizginin üzerinde olduğu iddia ediliyor. Bilinen ise yalnızca sıfırların yolun iki bariyeri, yani 0 ve 1 arasında bir yerde olduğu. Quasi-Riemann hipotezi ara bir soru soruyor: sıfırları bariyerlerden belli bir mesafe uzakta tutan, sabit genişlikte daha dar bir koridor var mı?

Bu "sabit" kelimesi önemli. Matematikçiler uzun süredir 1 çizgisinin hemen solunda sıfır bulunmayan bölgeler biliyordu; ama bu bölgeler, düzlemde yukarı doğru çıkıldıkça incelip kenara yapışıyordu. OpenAI'ın makalesinin girişinde tanımlandığı biçimiyle quasi-Riemann hipotezi, yükseklikten bağımsız, hiç incelmeyen bir sıfırsız şerit istiyor. Zeta fonksiyonunun sıfırları 1/2 çizgisine göre simetrik dizildiği için, sağ kenardan bir pay ayırmak sol kenardan da aynı payı ayırmak demek.

Koridor daralttıkça asallar hakkında söylenebilecekler de keskinleşiyor. Quanta'nın ifadesiyle, şerit ne kadar darsa asalların dağılımı hakkında o kadar çok şey söylenebiliyor.

İki sürüm, iki uzunluk

OpenAI aslında iki farklı ispat yayımladı. Şirketin GitHub deposundaki makaleler ve Quanta'nın haberi bir araya getirildiğinde tablo şöyle:

İlk sürüm daha güçlü bir sonuç iddia ediyor ve Lean adlı ispat denetleyicisinde biçimsel olarak doğrulanmış. Lean, bir ispatı bilgisayarın adım adım denetleyebileceği bir dile çevirmeye yarayan bir programlama dili; OpenAI'ın deposundaki biçimselleştirme kataloğunda zeta fonksiyonunun gerçel kısmı 7/8'den büyük bölgede sıfır almadığını söyleyen bir Lean ifadesi listeleniyor. İkinci sürüm ise daha zayıf ama çok daha kısa.

Matematikçiler kısa olana yöneldi, çünkü ikisi de okunması zor metinler. Radziwiłł, Quanta'ya gönderdiği e-postada iki makalenin de "korkunç biçimde yazılmış" olduğunu, "herhangi bir matematik dergisinde anında reddedilecek" bir anlatımla kaleme alındığını yazdı. "İnsanların çoğunlukla 11/12 sonucuna bakmasının nedeni daha kısa olması" dedi.

İşin ilginç bir yanı da şu: OpenAI deposunun tanıtım metnine göre koleksiyondaki sonuçların büyük çoğunluğu aynı sabit yöntemle, kurum içi bir modelin ortalama üç saatlik "düşünme" hesaplamasıyla üretildi. Zeta fonksiyonu için sıfırsız bölge çalışması bu yöntemin dışında kalan istisnalardan biri, 11/12 makalesi ise okunabilirlik için insanlarca düzenlenmiş. Quanta, bunun 722 makale içinde bir insanın elinden geçen tek makale olduğunu yazıyor. Düzenleyenin kim olduğu sorusuna şirket yanıt vermedi; Quanta'ya yalnızca "Makale, OpenAI'daki herkesin çalışmasının ürünü" dedi.

Kanıtın fikri: tek fonksiyon yerine bütün bir aile

Sarnak onlarca yıldır aynı stratejiyi savunuyordu: Riemann hipotezine zeta fonksiyonunu tek başına ele alarak değil, onu daha geniş bir fonksiyon ailesinin bir üyesi olarak görüp bütün aile hakkında bir şey kanıtlayarak yaklaşmak. Waterloo Üniversitesi'nden Michael Rubinstein'ın Quanta'ya söylediğine göre sorun, "bunun tam olarak nasıl yapılacağı ya da hangi ailenin ele alınacağı" belli olmamasıydı.

OpenAI'ın modeli doğru aileyi buldu. Quanta'ya göre Rutgers Üniversitesi'nden Henryk Iwaniec, 2002'de Riemann hipotezi için birbirine çok yakın aileler tanımlarken bu aileyi kıl payı ıskalamıştı. Makalenin kendi özetinden çıkan mantık kabaca şöyle: zeta fonksiyonunun sıfırları hakkında bir şey kanıtlamak, asal çarpanlarına göre +1, -1 ya da 0 değeri alan sayıların uzun toplamlarının beklenenden küçük kaldığını göstermekle yakından bağlantılı. Model bu tek toplamı tek başına incelemek yerine, onu Eisenstein tam sayıları denilen ve düzlemde altıgen bir ızgara oluşturan sayılar üzerinde kurulmuş benzer toplamlardan oluşan bütün bir ailenin içine yerleştiriyor. Ailenin ortalamada iyi davrandığını gösteriyor; asıl toplam bu ailenin pek çok üyesiyle neredeyse aynı olduğu için, ortalamanın iyi olması asıl toplamın da küçük olduğunu zorunlu kılıyor.

Doğru aileyi bulmak, metaplektik formlar denen az bilinen matematiksel nesneleri gerektirdi. Georgia Teknoloji Enstitüsü'nden Alexander Dunn son beş yılını bu nesnelere ayırmış biri. "Kimse bunu beklemiyordu" dedi Dunn; metaplektik formların sayı kuramında şimdiye dek pek yaygın olmadığını belirtip "umarım bu güzel ve gizemli kuram hak ettiği ilgiyi görür" diye ekledi.

Dunn ile Radziwiłł'ı asıl şaşırtan, ikisinin 2021'de kanıtladığı bir formülün ispatın kilit parçalarından biri olması. Makale de bu bağı açıkça kuruyor: kübik Gauss toplamları üzerine Patterson sanısı çalışmalarını, Dunn ve Radziwiłł'ın işini ve D. R. Heath-Brown'ın daha eski sonuçlarını kaynak gösteriyor. Dunn'ın özetiyle: "İspat, iyi bilinen fikirlerin şaşırtıcı bir sentezi." Yani beklenenin aksine yepyeni bir kavram yok; var olan araçlar arasında görülmemiş bağlantılar var.

Radziwiłł'a göre bu alanda çalışanlar, kendi araçlarının quasi-Riemann hipotezine yetmeyeceğine, bunun için sayı kuramının bambaşka bir dalından teknikler gerektiğine inanıyordu. Modelin bu araçların yetebileceği yönündeki "inancı" belirleyici oldu. "Bu oldukça cesur bir inançtı!" dedi Radziwiłł.

İspat doğruysa ne değişiyor

Quanta'ya göre ispat, yalnız sayı kuramında değil geometride ve kuramsal bilgisayar biliminde de onlarca sonucu bir anda kanıtlanmış hale getirecek. Bu sonuçların çoğu yıllardır "Riemann hipotezi ya da onun bir benzeri doğruysa" şartıyla yazılıyordu. Radziwiłł genel havayı "rahatlama" diye özetledi.

OpenAI'ın 11/12 makalesi, giriş bölümünde bu sonuçlardan bazılarını sıralıyor. Bunlar makalenin kendi iddiaları; her biri ispatın doğruluğuna bağlı:

• Landau–Siegel sıfırları yok. Sayı kuramını onlarca yıldır rahatsız eden, 1'e tehlikeli derecede yakın duran varsayımsal bir "istisna sıfır" ihtimali, makaleye göre tümüyle ortadan kalkıyor.
• Belirli bir kalanı veren asalların sayımı. Örneğin 10'a bölündüğünde 3 kalanını veren asalların sayısı için yapılan tahminin hatasına, bütün bölenler için aynı anda geçerli bir üst sınır.
• Vinogradov sanısı. Bir asal sayıya göre "karesel kalan olmayan" en küçük sayının çok küçük kaldığını söyleyen eski bir sanı, makaleye göre kanıtlanmış oluyor.
• Bilgisayar tarafı. Miller'ın asallık testinin rastgelelik gerektirmeyen biçiminin verimli (polinom zamanda) çalıştığı kanıtlanmış oluyor; makale, verimli asallık testinin AKS algoritmasıyla zaten bilindiğini de not ediyor.
• Euler'in 65 "idoneal" (uygun) sayısı. Euler'in derlediği ve eksiksiz olup olmadığı bugüne dek bilinmeyen 65 sayılık listenin tam olduğu, makaleye göre doğrulanıyor.

Çekinceler: kim kontrol etti, ne kadar kontrol etti

Uzmanlar sonucun büyük olasılıkla doğru olduğu konusunda hemfikir görünüyor. Quanta'ya göre Radziwiłł ispatın ana hatlarını artık yarım sayfada çizebiliyor; başka matematikçilerin daha ayrıntılı özetleri 7 ila 13 sayfa arasında. Ama bu özetler henüz yayımlanmadı, yalnızca kendi aralarında dolaşıyor. 11/12 sürümünün Lean doğrulaması da yok. Lean'in onayı ise biçimsel ifadenin doğru olduğunu gösterir; o ifadenin makalede kastedilen şeyi birebir söyleyip söylemediğini yine bir insanın okuması gerekir.

Sarnak, Quanta'ya gönderdiği e-postada insanlar bütün ayrıntıları denetleyip anlayana kadar bunun "bir Teorem" olduğuna ikna olmayacağını yazdı. Bir de bağlam var: aynı koleksiyonda 7 Ekim'de bir işaret hatası yüzünden üç makale geri çekildi. Quasi-Riemann makaleleri bunlar arasında değil, ama kimin, hangi titizlikle okuduğu sorusu her makale için ayrı ayrı sorulmaya devam ediyor.

Asıl hedefe gelince, sayı kuramcıları temkinli. Bu teknik bileşimin 7/8 sınırını 1/2'ye indireceğine pek inanan yok. Princeton'dan Will Sawin, "Matematikçiler yeni yöntemleri tamamen sindirip sonuçlarını işledikten sonra, büyük olasılıkla tam Riemann hipotezine eskisi kadar uzak hissedeceğiz" dedi ve ekledi: "Ama bundan emin değilim."

Riemann hipotezinin neden bu kadar önemli olduğunu merak edenler için Quanta Magazine'in YouTube kanalında yayımladığı, Rutgers Üniversitesi'nden Alex Kontorovich'in anlattığı İngilizce açıklayıcı video iyi bir başlangıç:

Sırada ne var

Önümüzdeki aylarda üç şey izlenecek: dolaşımdaki özetlerin hakemli bir yayına dönüşüp dönüşmediği, 11/12 sürümünün de biçimsel olarak doğrulanıp doğrulanmadığı ve metaplektik formların sayı kuramında yeni bir araç kutusu haline gelip gelmediği. Bir de cevabı verilmemiş küçük ama önemli bir soru var: OpenAI'ın tek insan eli değmiş makalesini kim düzenledi?

Manchester Üniversitesi'nden Thomas Bloom da tam Riemann hipotezinin hâlâ ulaşılmaz göründüğünü kabul ediyor. Ama bir kaydı var: "Birkaç hafta önce quasi-Riemann için de aynı şeyi söylerdik! Bu noktada hiçbir şey beni şaşırtmaz."

Fotoğraf: , Public domain, Wikimedia Commons