280 karaktere sığan en büyük sayı: Bir tweet yarışması mantığın sınırına nasıl dayandı?

Matematikçi Joel David Hamkins birkaç yıl önce Twitter'da (bugünkü adıyla X) takipçilerine bir yarışma açtı: 280 karakterlik bir tweet'e en büyük sayıyı kim yazabilir? Ödül bir milyon dolardı, ama yanında küçük bir dipnot vardı: Ödül, birinci gelen sayıya bölünecekti. Hamkins hemen ardından kendi tweet'ine "bir milyon" diye cevap yazdı. Ödenecek para böylece bir dolara inmişti.

Bu oyun, Notre Dame Üniversitesi'nde matematik ve felsefe üzerine çalışan Hamkins'in "Sonsuzluk Dersleri" (Lectures on Infinity) dizisinin dördüncü dersi oldu. Ders, büyük sayılarla başlayıp çok daha temel bir soruya varıyor: Matematikte her sorunun kesin bir cevabı var mı?

Sorunun çekiciliği, cevabın ilk bakışta apaçık görünmesinde. Bir tweet'te kullanılabilecek karakterler sınırlı, dolayısıyla yazılabilecek tweet sayısı da sonlu. Bunların bir kısmı sayı anlatıyorsa, anlatılan sayıların da bir en büyüğü olmalı. Hamkins, bu sağlam görünen akıl yürütmenin nerede çöktüğünü gösteriyor.

Dokuzlardan kelimelere

En kolay yol, tweet'i baştan sona 9 rakamıyla doldurmak. 280 tane dokuz, 10²⁸⁰'in bir eksiğine eşit. Bu, ünlü googol sayısını (1'in ardından 100 sıfır, yani 10¹⁰⁰) şimdiden geride bırakıyor. Rakam yerine kelime yazmak daha verimli: Hamkins'in örneğinde İngilizce "one centillion" ifadesi, birkaç harfle 10³⁰³'ü anlatıyor.

Sonra işlemler devreye giriyor. Faktöriyel, bir sayıyı kendisinden küçük bütün pozitif tam sayılarla çarpmak demek (5! = 5×4×3×2×1). "Googol" yazıp tweet'i ünlem işaretiyle doldurmak, faktöriyeli yüzlerce kez üst üste almak olur.

Biri de kocaman bir "1" resmi paylaştı. Hamkins'e göre bu, rakamla sayıyı karıştırmak: Rakam yazılıştır, sayı ise anlattığı miktar. Resim ne kadar büyük olsa da miktar bir.

Kolayca yazılan dev, yazılamayan küçükler

Googolplex, 10 üzeri googol demek: 1'in ardından googol kadar sıfır. Bir tweet'e rahatça sığıyor. Ama Hamkins dikkati ondan küçük sıradan bir sayıya çekiyor. Böyle bir sayının yaklaşık googol tane rastgele basamağı olur. Saniyede bir milyon basamak okuyup evrenin 13,8 milyar yıllık yaşı (10¹⁸ saniyeden az) boyunca hiç durmasanız, en fazla 10²⁴ basamak okursunuz. Gereken ise 10¹⁰⁰.

Yani dev bir sayıyı kısa bir tarifle anlatmak mümkün, ama ondan küçük sayıların hepsine yetecek kadar kısa tarif yok.

Tablodaki örnekler Hamkins'in dersinden; "googolbang" ile "googolstack" onun şakacı adları.

Oklar ve Graham sayısının ötesi

Bilgisayar bilimci Donald Knuth'un ok gösterimi bu büyümeyi düzene sokuyor. Tek ok üs almak demek: 2↑4, 2 üzeri 4. Çift ok, üsleri üst üste dizip kule kurmak. Üç ok, kule kurmayı tekrarlamak. Ünlü Graham sayısı bu oklarla tanımlanıyor. Hamkins okları daha da güçlendiren kendi kuralını tanımlayıp yarışmaya onunla kurduğu bir sayıyla katılıyor; kendi ifadesiyle Graham sayısından "çok çok daha büyük" bir sayıyla.

Yarışmayı bitiren tweet

Sonra Hamkins kesin galibi açıklıyor: "Tweet'e yazılabilen en büyük sayı." Tweet'e sığıyor ve tanımı gereği geçilemez. Ama biri hemen "tweet'e yazılabilen en büyük sayı artı bir" yazabilir. Bu da tweet'e sığıyor, üstelik ötekinden büyük. İşte paradoks.

Bu, yüz yılı aşkın bir bilmecenin yeni kılığı. Oxford'daki Bodleian Kütüphanesi'nde çalışan G. G. Berry'nin adını taşıyan Berry paradoksu şöyle: "On ikiden az kelimeyle tanımlanamayan en küçük sayı." İngilizcesi on bir kelime. Yani o sayıyı on ikiden az kelimeyle tanımlamış oluyoruz. Bertrand Russell, Berry'yi Oxford'da matematiksel mantığı anlayan tek kişi diye anmıştı.

Hakemin çözemeyeceği soru

Hamkins her girdiyi, sayıyı hesaplayan bir program gibi düşünmeyi öneriyor. Bir sayının en kısa programının uzunluğuna Kolmogorov karmaşıklığı deniyor. Bu değeri genel olarak hesaplayan bir yöntem yok. Olsaydı, karmaşıklığı kendi uzunluğunu aşan ilk sayıyı arayan kısa bir program yazılabilirdi. Bu da tanımla çelişirdi.

Hakemin bir sorunu daha var: Gönderilen programlardan hangisinin durup sonuç vereceğini bilmesi gerekiyor. Alan Turing 1936'da bunun genel olarak karar verilemez olduğunu gösterdi. Tibor Radó'nun 1962'de tanımladığı "meşgul kunduz" (busy beaver) sayıları, belli büyüklükteki bir makinenin durmadan önce yapabileceği en uzun çalışmayı soruyor. Beş durumlu makineler için cevabın 47.176.870 adım olduğu ancak 2024'te, çevrim içi bir gönüllü topluluk tarafından kanıtlanabildi.

Hamkins asıl darbeyi burada vuruyor: Peano aritmetiği ya da Zermelo-Fraenkel küme kuramı gibi temel aksiyom sistemlerinde, durmadığı halde bunun kanıtlanamadığı görece küçük programlar var. Yani bir tweet'in bir sayı anlatıp anlatmadığı, kullandığınız aksiyomlara bağlı. O aksiyomlar ise tweet'e sığmıyor.

Tanımlanabilirlik tanımlanamaz

Son parçayı Alfred Tarski veriyor. Tarski'nin "doğruluğun tanımlanamazlığı" teoremine göre, aritmetiğin biçimsel dilinde bir formülün bir sayıyı tanımlayıp tanımlamadığı, aynı dilde ifade edilemiyor. Hamkins'in özetiyle: Tanımlanabilirlik tanımlanamaz, tweet'lenebilirlik de bir tweet'e sığmaz.

Bugün "adı konmuş en büyük sayı" diye anılan Rayo sayısı da aynı sınırda duruyor. Filozof Agustín Rayo, 26 Ocak 2007'de MIT'deki bir büyük sayı düellosunda bunu şöyle tanımladı: Küme kuramının biçimsel dilinde googol ya da daha az sembolle adlandırılabilen her sayıdan büyük olan en küçük sayı. "Adlandırılabilme" ölçütü dilin dışından, daha güçlü bir mantıkla kuruluyor. Yine de bazı matematikçiler, o mantığın farklı yorumlarında sayının farklı değerler alabileceği gerekçesiyle tanımı kesin saymıyor.

Hamkins'in dersinin tamamı, eğitim platformu Ergo'nun YouTube kanalında yayımlanan yukarıdaki videoda izlenebiliyor. Geriye dersin açık sorusu kalıyor: Hiçbir aksiyom sistemi bir programın durup durmadığını söyleyemiyorsa, o sorunun yine de gerçek bir cevabı var mı?

Fotoğraf: Rocky Acosta, CC BY 3.0, Wikimedia Commons