Uzayı asla tekrarlamadan dolduran şekil: yedi küplük bir sandalye
Sekiz küplük bir bloktan bir köşe çıkarılınca kalan “sandalye”, üç boyutlu uzayı sonsuza kadar doldurup hiçbir yönde tekrarlamıyor. Şekli bir yazılımcı yapay zekâya sordurarak buldu; matematikçiler bölündü.
Sekiz küçük küpün birleşmesinden oluşan bir blok düşünün, kabaca bir Rubik küpünün dörtte biri. Şimdi köşelerden birini sökün. Elinizde yedi küplük, kabaca bir sandalyeyi andıran bir kütle kalıyor. Yüzeylerine, parmağınızla zar zor fark edeceğiniz minik piramit çıkıntılar ve tam onlara oturan çukurlar işlenmiş. Bu kütlenin kopyalarını alıp üç boyutlu uzayı boşluksuz doldurmaya başlarsanız, ortaya çıkan düzen hiçbir yönde, hiçbir uzaklıkta kendini tekrarlamıyor.
Chair44 adı verilen bu şekli, kendisini yapay zekâ araştırma laboratuvarı olarak tanımlayan Automorph'un yöneticisi, yazılımcı Ioannis Tsiokos duyurdu. Makale 16 Eylül'de arXiv ön baskı sunucusuna yüklendi ve ekim ortasında geometri çevrelerinde konuşulmaya başlandı. İddia iki cümleyle özetlenebiliyor: Chair44'ün eş kopyaları uzayın tamamını döşüyor ve bunu asla periyodik biçimde yapamıyor.
Doğruysa, onlarca yıl açık kalmış bir geometri sorusunun en inatçı hâli kapanmış oluyor. Ama matematik çevresinde en az bu kadar konuşulan ikinci bir hikâye var: Tsiokos şekli kâğıt üstünde kurmadı. Aradığı tanımı ve kuralları OpenAI'nin akıl yürütme modeli ChatGPT Astra'ya verip çıkan adayları eleyerek buldu. Sonuç, alanın uzmanlarını aynı anda hem memnun etti hem huzursuz.
“Tekrarsız” derken tam olarak ne kastediliyor
Bir döşemenin periyodik olması şu demek: desenin tamamını belli bir yöne belli bir uzaklık kaydırdığınızda tıpatıp aynı görüntüyü elde ediyorsunuz. Banyo fayansları, arı peteği, tuğla duvar hepsi böyle. Gözünüz deseni bir kez çözdüyse gerisini tahmin edebiliyor.
Aperiyodik bir döşemede bu kaydırma hiç tutmuyor. Yerel olarak tanıdık kümeler tekrar tekrar karşınıza çıkabiliyor, ama deseni bir bütün olarak sıfırdan farklı bir uzaklık kadar öteleyip aynı düzeni geri getirmek mümkün olmuyor. Zorluk, bunu tek bir şekille ve ek kural koymadan yapmakta. Şekle “şuraya şu yönde oturacak” gibi dışarıdan bir talimat eklerseniz iş kolaylaşır; aranan şey, geometrisinin kendisi tekrarı imkânsız kılan bir parça. Bu tek parçanın adı aperiyodik monokaro, lakabı ise “einstein” — fizikçiye değil, Almanca ein Stein yani “tek taş” sözüne gönderme.
Düzlemde tekrarsızlığın ne demek olduğunu en iyi gösteren örnek Roger Penrose'un 1974'te tanıttığı döşeme. Penrose ilk hâlinde altı farklı parça kullanıyordu, sonra bunu ikiye indirdi: ya iki eşkenar dörtgen ya da “uçurtma ve ok” dediği iki dörtgen. İki parçayla kurulan bu desen asla tekrarlamıyor ama beş katlı bir simetri sergiliyor — klasik kristalografinin imkânsız saydığı bir şey.
Bu, salt bir zekâ oyunu olarak kalmadı. Dan Shechtman, yarı kristallerin keşfiyle 2011 Nobel Kimya Ödülü'nü aldı; Nobel komitesinin ifadesiyle Penrose döşemesi “yarı kristallerin keşfinin anlaşılmasının yolunu açmaya yardım etmişti.” Kâğıt üstündeki tekrarsız desen, maddenin kendisinde bir karşılık bulmuştu.
Şapkadan sandalyeye
Düzlemdeki tek parça sorusu uzun süre açık kaldı. Kasım 2022'de İngiltere'nin Yorkshire bölgesinde yaşayan ve kendini şekil meraklısı olarak tanımlayan David Smith, 13 kenarlı bir parça buldu. Şeklin görünüşü yüzünden ona “şapka” (hat) dendi. Mart 2023'te Smith, Craig S. Kaplan, Joseph Samuel Myers ve Chaim Goodman-Strauss şapkanın gerçekten aperiyodik bir monokaro olduğunun kanıtını yayımladı. Aynı yıl ekip, yalnızca döndürme ve ötelemeyle döşenen “hayalet” (spectre) parçasını da duyurdu.
Şapka, elli yıla yakın süren bir aramayı iki boyutta bitirdi. Sıradaki soru belliydi: üç boyutta?
Üç boyutta işi zorlaştıran şey: vida hareketi
Aslında üç boyutta uzun zamandır bir aday vardı. Peter Schmitt 1988'de bir parça buldu; John Horton Conway ve Ludwig Danzer bunu konveks bir biçime taşıdı ve sonuç Schmitt-Conway-Danzer çiftprizması olarak bilinir hâle geldi. Kaplan'ın Scientific American'a söylediği gibi: “Onlarca yıldır 3B'de bir aperiyodik monokaro biliyorduk: Schmitt-Conway-Danzer çiftprizması diye bilinen bir şekil.”
Ama bu parçanın bir kusuru vardı. Onunla kurulan döşemeler, vida hareketi dedikleri bir simetriyi barındırıyor: parçayı bir eksen boyunca ötelerken aynı anda π'nin irrasyonel bir katı kadar döndürüyorsunuz ve desen yerine oturuyor. Teknik olarak öteleme periyodu yok, ama “hiç tekrarlamıyor” demek de zor. Bu durum Goodman-Strauss'un aperiyodiklik tanımını yeniden kurmasına yol açtı.
Öteki aday, Joshua Socolar ve Joan Taylor'ın 2010'da düzlem için önerdiği parçaydı; onun üç boyutlu sürümünde ise periyodik bir yığılma doğrultusu kalıyordu. Düzlemdeki hâli de “saf” sayılmıyordu: yönleri kısıtlayan eşleşme kuralları ve yüzey işaretleri gerekiyor, işaretler kaldırılınca parça tek parça olmaktan çıkıyordu.
Socolar ve Taylor'ın bıraktığı soru tam olarak şuydu: tek parçadan oluşan, basit bağlantılı ve yalnızca şekli sayesinde periyodikliği engelleyen bir üç boyutlu parça var mı? Tsiokos'un makalesi bu soruya cevap verdiğini söylüyor.
Sandalyenin iddia ettiği şey
Makalenin özeti şekli “24 açık birim paneli minik kare-piramit özellikler taşıyan yedi küplük bir sandalye” diye tanımlıyor. Phys.org'un haberine göre bu yüzey işlemeleri toplamda 192 küçük piramit çıkıntı ve çukur ediyor. Çıkıntı-çukur mantığı, komşu parçaların birbirine nasıl oturabileceğini daraltıyor: her çıkıntı yalnızca tam ölçüsüne uyan bir çukura denk gelebiliyor. Bu kısıt, döşemeyi iç içe geçen bir hiyerarşiye zorluyor — küçük öbekler daha büyük öbeklerin içinde, onlar da daha büyüklerinin içinde yer alıyor — ve genel bir tekrarın oluşmasına yer bırakmıyor.
Makalenin özetine göre kanıtlanan iddialar şöyle:
| Şeklin adı | Chair44 (R44) |
|---|---|
| Gövde | 2×2×2 küpten bir köşe küpü çıkarılmış yedi küplük “sandalye” |
| Yüzey | 24 açık birim panel, üzerlerinde minik kare-piramit çıkıntı ve çukurlar |
| İzin verilenler | Eş kopyalar; yansımalar serbest |
| Temel sonuç | Kurulabilen her döşemede öteleme periyodu yok |
| Simetri sınırı | Her döşemenin simetri grubu en çok 24 elemanlı |
| Ek özellikler | Her döşeme homokiral; iç içe süperkaroların tek bir sonsuz hiyerarşisi |
| Makine denetimi | Lean 4 çekirdek denetimi, adlandırılmış derleyici bağımlılıkları hariç |
Tsiokos'un “Emergence Calculus — Six Birds Theory” adlı kanalında yayımladığı tanıtım videosu, şekli ve ondan kurulan döşemeyi animasyonla gösteriyor:
Kanıt makinede denetlendi, hakemden geçmedi
Chair44'ün kanıtı iki ayaklı. Birinci ayak, yüzey işlemelerinin her döşemeyi belli bir kafese oturtmaya zorladığını gösteren yazılı geometrik akıl yürütme. İkinci ayak, sonlu durumların tek tek taranması. Makale bu sonlu taramanın iki bağımsız yazılım gerçeklemesiyle ayrı ayrı tekrarlandığını ve her sonlu kapının Lean 4 kanıt denetleyicisinin çekirdeğinde doğrulandığını söylüyor — belirli derleyici bağımlılıkları dışarıda bırakılmak kaydıyla.
Burada bir ayrım önemli. Lean gibi bir denetleyici, bir akıl yürütmenin adımlarının biçimsel olarak tutarlı olduğunu makineyle onaylar; bu, insan hakemliğinin yerini tutmaz. arXiv bir ön baskı sunucusu, hakemli bir dergi değil. Phys.org'un haberi de bağımsız uzman incelemesinin ve biçimsel denetimlerin yeniden üretilmesinin “acil öncelikler” arasında olduğunu belirtiyor. Makalenin kendi özeti bile kanıtı temkinli bir ifadeyle, “bir kanıt sunumu olarak” takdim ediyor.
Matematikçileri rahatsız eden kısım
2023 şapka makalesinin yazarlarından Chaim Goodman-Strauss, Tsiokos'un 61 sayfalık metnini okumayı o kadar yorucu buldu ki aynı sonucu daha anlaşılır biçimde anlatan kendi yazısını yayımladı. 21 Eylül'de arXiv'e yüklediği “Notes on a strongly aperiodic monotile in E³” başlıklı metnin özeti tek cümle: “Chair44 monokarosunun, üç boyutlu Öklid uzayında güçlü biçimde aperiyodik yeni bir monokaronun daha anlaşılır bir sunumunu veriyoruz.”
Goodman-Strauss'un asıl eleştirisi biçimle ilgili. Metinde konuyla ilgisiz çok fazla şişirme bulduğunu söyledi ve ekledi: “Bunlar, bir büyük dil modeli eliyle yürütülmüş araştırma makalesinin alametleridir.” Buna rağmen bulgunun hakkını verdi: “Bu keşif, geliştirdiği çerçeve ve Chair44 monokarosuna götüren insan merakı için Tsiokos'a şapka çıkarıyorum.”
Kaplan'ın tepkisi daha net biçimde olumluydu: “Kısa süre öncesine kadar canımızı sıkan açık bir sorunun çözümüne sahip olmamız beni memnun ediyor.” Bristol Üniversitesi'nden teorik fizikçi Felix Flicker ise iki duyguyu yan yana koydu: “Pek çok matematikçinin, karonun nasıl bulunduğundan memnun olmadığını biliyorum” dedi; “İyi tarafı, elimizde yeni ve önemli bir sonuç var.”
Huzursuzluğun kaynağı sonucun kendisi değil, keşfin biçimi. Bir model, üzerine düşünülmüş bir çerçeve ve kurallar verildiğinde, insanların elli yıldır deneyip bulamadığı bir geometriyi aday olarak ortaya koyabiliyor. Tsiokos'un anlatımına göre hazırlık aşaması, yapay zekâ yardımıyla geliştirdiği kendi çerçevesine ayırdığı yaklaşık bir yıl. Yani modele “bana aperiyodik bir monokaro bul” diye yazılmış bir cümle değil söz konusu olan; asıl emek, sorunun makineye anlatılabilir hâle getirilmesinde.
Sırada ne var
En acil iş bağımsız denetim: Chair44'ün kanıtı, başka araştırmacıların elinde ve makineden geçtiği gibi insan okumasında da ayakta kalır mı? Bu soru cevaplanana kadar sonucu “kapandı” saymak erken.
Daha ilginç olanı Goodman-Strauss'un bıraktığı not: “Burada dil modelleri devrindeki büyük derslerden biri, bütün matematik sorularını hatırlamamız gerektiği.” Yani yıllar önce “buna şimdiki araçlarla yaklaşılamaz” diye rafa kalkmış sorular listesi, bugün yeniden açılmayı bekleyen bir liste olabilir.
Bir de şu açık uç var: Penrose'un kâğıt üstündeki deseninin maddede karşılık bulması yıllar aldı. Chair44'ün üç boyutlu tekrarsızlığının fiziksel bir karşılığı olup olacağını — bir malzemede, bir kristal yapıda, bir mimari dolguda — şu an kimse söyleyemiyor. Elimizdeki şey şimdilik yedi küplük bir sandalye ve onun asla kendini tekrarlamayacağına dair bir iddia.
Fotoğraf: David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss, CC BY 4.0, Wikimedia Commons
